Школа № 2007 ФМШ из 8 в 9 класс 2025 год

ШКОЛА № 2007

2025 год

10.04.2025

1. Сократите дробь: \(\dfrac{8-27t^3}{4-12t+9t^2}\).
2. Решите уравнение: \(\sqrt{3}\,x^2-2\cdot(\sqrt{3}+2\sqrt{6})\cdot x+8\sqrt{6}=0\).
3. Решите уравнение: \((x^2+5x+2)\cdot(x^2+5x-1)=28\).
4. Вычислите: \(\dfrac{(4\sqrt{7}+\sqrt{32})^2}{18+2\sqrt{56}}\).
5. Решите неравенство: \((4x-6)^2\ge (6x-4)^2\).
6. Решите графически неравенство: \(x^2-5x+4\le 4\).
7. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x^2-2x=y,\\ 3x-2=y. \end{cases} \]
8. Товар \(B\) был на \(50\%\) дороже товара \(A\). Цена товара \(A\) увеличилась на \(40\%\), а общая стоимость двух товаров увеличилась на \(4\%\). На сколько процентов была снижена цена товара \(B\)?
9. Бригада должна изготовить \(120\) изделий к определённому сроку. Однако она изготовляла в день на \(2\) изделия больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончила работу на \(3\) дня раньше срока. Сколько изделий в день должна была изготавливать бригада по плану?
10. Разложите на множители \(x^4+4\).

Решения задач

1. Сократите дробь: \(\dfrac{8-27t^3}{4-12t+9t^2}\).
   Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители:
   \(8 - 27t^3 = 2^3 - (3t)^3 = (2 - 3t)(4 + 6t + 9t^2)\)
   \(4 - 12t + 9t^2 = (2 - 3t)^2\)
   Сократим дробь: \(\dfrac{(2 - 3t)(4 + 6t + 9t^2)}{(2 - 3t)^2} = \dfrac{4 + 6t + 9t^2}{2 - 3t}\)
   Ответ: \(\dfrac{4 + 6t + 9t²}{2 - 3t}\).
2. Решите уравнение: \(\sqrt{3}\,x^2-2\cdot(\sqrt{3}+2\sqrt{6})\cdot x+8\sqrt{6}=0\).
   Решение: Воспользуемся методом разложения на множители:
   \((\sqrt{3}x - 2\sqrt{6})(x - 2) = 0\)
   Корни уравнения:
   \(x = \dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}\), \(x = 2\)
   Ответ: \(2\sqrt{2}\) и \(2\).
3. Решите уравнение: \((x^2+5x+2)\cdot(x^2+5x-1)=28\).
   Решение: Сделаем замену \(y = x^2 + 5x\):
   \((y + 2)(y - 1) = 28 \Rightarrow y^2 + y - 30 = 0\)
   Корни: \(y = 5\) и \(y = -6\).
   Для \(y = 5\) решаем:
   \(x^2 + 5x - 5 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{45}}{2} = \dfrac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{2}\)
   При \(y = -6\) дискриминант отрицателен.
   Ответ: \(\dfrac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}\) и \(\dfrac{-5 - 3\sqrt{5}}{2}\).
4. Вычислите: \(\dfrac{(4\sqrt{7}+\sqrt{32})^2}{18+2\sqrt{56}}\).
   Решение: Упростим числитель и знаменатель:
   Числитель: \((4\sqrt{7} + 4\sqrt{2})² = 16·7 + 32\sqrt{14} + 16·2 = 144 + 32\sqrt{14}\)
   Знаменатель: \(18 + 4\sqrt{14}\)
   \(\dfrac{144 + 32\sqrt{14}}{18 + 4\sqrt{14}} = \dfrac{8·(18 + 4\sqrt{14})}{18 + 4\sqrt{14}} = 8\)
   Ответ: \(8\).
5. Решите неравенство: \((4x-6)^2\ge (6x-4)^2\).
   Решение: Переносим все влево и раскладываем на множители:
   \((4x - 6 - 6x + 4)(4x - 6 + 6x - 4) \ge 0\)
   \((-2x - 2)(10x - 10) \ge 0 \Rightarrow (x + 1)(x - 1) \le 0\)
   Решение: \(-1 \le x \le 1\).
   Ответ: \([-1; 1]\).
6. Решите графически неравенство: \(x^2-5x+4\le 4\).
   Решение: Упрощаем неравенство:
   \(x² - 5x \le 0 \Rightarrow x(x - 5) \le 0\)
   Решение: \(0 \le x \le 5\).
   Ответ: \([0; 5]\).
7. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x^2-2x=y,\\ 3x-2=y. \end{cases} \]
   Решение: Подставляем \(y = 3x - 2\) в первое уравнение:
   \(3x² - 2x = 3x - 2 \Rightarrow 3x² - 5x + 2 = 0\)
   Корни: \(x = 1\) и \(x = \dfrac{2}{3}\).
   Соответствующие значения \(y\): \(y = 1\) и \(y = 0\).
   Ответ: \((1; 1)\) и \(\left(\dfrac{2}{3}; 0\right)\).
8. Товар \(B\) был на \(50\%\) дороже товара \(A\). Цена товара \(A\) увеличилась на \(40\%\), а общая стоимость двух товаров увеличилась на \(4\%\). На сколько процентов была снижена цена товара \(B\)?
   Решение: Пусть первоначальная цена товара \(A = x\), тогда цена \(B = 1.5x\).
   Новая цена \(A = 1.4x\). Новая цена \(B = 1.5x(1 - k)\), где \(k\) — процент снижения.
   Общая стоимость: \(1.4x + 1.5x(1 - k) = 2.5x·1.04 = 2.6x\)
   Решая уравнение, получаем \(k = 0.2\).
   Ответ: На \(20\%\).
9. Бригада должна изготовить \(120\) изделий к определённому сроку. Однако она изготовляла в день на \(2\) изделия больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончила работу на \(3\) дня раньше срока. Сколько изделий в день должна была изготавливать бригада по плану?
   Решение: Пусть по плану \(x\) изделий в день. Тогда:
   \(\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{x + 2} = 3\)
   Решая уравнение получаем \(x = 8\).
   Ответ: \(8\).
10. Разложите на множители \(x^4+4\).
    Решение: Используем метод добавления и вычитания квадрата:
    \(x⁴ + 4 = x⁴ + 4x² + 4 - 4x² = (x² + 2)² - (2x)² = (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)\)
    Ответ: \((x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)\).