8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа № 2007 ФМШ из 8 в 9 класс 2017 год вариант 1-3

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2017
Печать
youit.school ©

ШКОЛА № 2007


2017 год


Вариант 1



  1. Найдите значение выражения $\frac{y}{x}$, зная, что $\frac{x}{y}=5$.
  2. Упростите выражение: $\frac{4 a^{2}+3 a+2}{a^{3}-1}-\frac{1-2 a}{a^{2}+a+1}$;
  3. Упростите выражение: $\left(x-\frac{4 x y}{x+y}+y\right) \cdot\left(x+\frac{4 x y}{x-y}-y\right)$
  4. Найдите значение выражения: $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$
  5. Упростите выражение: $6 \sqrt{1 \frac{1}{3}}-\sqrt{27}$
  6. Решите уравнение: $3 x^{2}+11 x-34=0$
  7. Дно ящика - прямоугольник, ширина которого в два раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объем ящика, если известно, что площадь его дня на 1,08 м $^{2}$ меньше площади боковых стенок.
  8. Пройдя вниз по реке 150 км, теплоход возвратился обратно, затратив на весь путь 5 ч 30 мин. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в стоячей воде 55 км/ч.
  9. Решите неравенство: $\frac{12}{x-1}-\frac{8}{x+1}=1$
  10. Найдите положительные значения $y$, удовлетворяющие системе неравенств:
    $\left\{\begin{array}{l} 15(y-4)-14(y-3) \text{<} y(y-9) \\ \frac{5-y}{3}-y \text{<} 14-\frac{2-y}{6} \end{array}\right.$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения $\frac{y}{x}$, зная, что $\frac{x}{y}=5$.
    Решение: По условию $\frac{x}{y} = 5$, тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{5} = 0,2$.
    Ответ: 0,2.
  2. Упростите выражение: $\frac{4 a^{2}+3 a+2}{a^{3}-1}-\frac{1-2 a}{a^{2}+a+1}$.
    Решение: Разложим знаменатель первого слагаемого на множители: $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$. Приведем к общему знаменателю:
    $\frac{4a^2 + 3a + 2}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{(1 - 2a)(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{4a^2 + 3a + 2 - (a - 1 - 2a^2 + 2a)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{6a^2 + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.
    Ответ: $\frac{6a^2 + 3}{a^3 - 1}$.
  3. Упростите выражение: $\left(x-\frac{4 x y}{x+y}+y\right) \cdot\left(x+\frac{4 x y}{x-y}-y\right)$.
    Решение: Упростим каждую скобку отдельно:
    Первая скобка: $x + y - \frac{4xy}{x + y} = \frac{(x + y)^2 - 4xy}{x + y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x + y} = \frac{(x - y)^2}{x + y}$.
    Вторая скобка: $x - y + \frac{4xy}{x - y} = \frac{(x - y)^2 + 4xy}{x - y} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x - y} = \frac{(x + y)^2}{x - y}$.
    Перемножаем результаты: $\frac{(x - y)^2}{x + y} \cdot \frac{(x + y)^2}{x - y} = (x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
    Ответ: $x^2 - y^2$.
  4. Найдите значение выражения: $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.
    Решение: Умножим каждую дробь на сопряженное:
    $\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{5 - 3} + \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} + \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15} + 4 + \sqrt{15} = 8$.
    Ответ: 8.
  5. Упростите выражение: $6 \sqrt{1 \frac{1}{3}}-\sqrt{27}$.
    Решение: Преобразуем смешанную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
    $6 \sqrt{\frac{4}{3}} - \sqrt{27} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{3} = \frac{12}{\sqrt{3}} - 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
    Ответ: $\sqrt{3}$.
  6. Решите уравнение: $3 x^{2}+11 x-34=0$.
    Решение: Найдем дискриминант:
    $D = 11^2 + 4 \cdot 3 \cdot 34 = 121 + 408 = 529 = 23^2$.
    Корни: $x = \frac{-11 \pm 23}{6}$.
    $x_1 = \frac{12}{6} = 2$, $x_2 = \frac{-34}{6} = -\frac{17}{3}$.
    Ответ: $-\frac{17}{3}$; 2.
  7. Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в два раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объем ящика, если известно, что площадь его дна на 1,08 м² меньше площади боковых стенок.
    Решение: Пусть длина дна $x$ м, тогда ширина $\frac{x}{2}$ м. Площадь дна: $\frac{x^2}{2}$.
    Площадь боковых стенок: $2 \cdot 0,5x + 2 \cdot 0,5 \cdot \frac{x}{2} = x + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}$.
    Уравнение: $\frac{3x}{2} - \frac{x^2}{2} = 1,08$.
    Умножаем на 2: $3x - x^2 = 2,16 \Rightarrow x^2 - 3x + 2,16 = 0$.
    Дискриминант: $9 - 8,64 = 0,36 \Rightarrow x = \frac{3 \pm 0,6}{2}$.
    Корни: $x_1 = 1,8$ м, $x_2 = 1,2$ м. Объемы: $1,8 \cdot 0,9 \cdot 0,5 = 0,81$ м³ и $1,2 \cdot 0,6 \cdot 0,5 = 0,36$ м³.
    Ответ: 0,36 м³; 0,81 м³.
  8. Пройдя вниз по реке 150 км, теплоход возвратился обратно, затратив на весь путь 5 ч 30 мин. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в стоячей воде 55 км/ч.
    Решение: Пусть скорость течения $v$ км/ч. Время движения:
    $\frac{150}{55 + v} + \frac{150}{55 - v} = 5,5$.
    Умножаем на $(55 + v)(55 - v)$: $150(55 - v) + 150(55 + v) = 5,5(3025 - v^2)$.
    Упрощаем: $16500 = 5,5(3025 - v^2) \Rightarrow 3000 = 3025 - v^2 \Rightarrow v^2 = 25 \Rightarrow v = 5$ км/ч.
    Ответ: 5 км/ч.
  9. Решите уравнение: $\frac{12}{x-1}-\frac{8}{x+1}=1$.
    Решение: Приводим к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1)$:
    $12(x + 1) - 8(x - 1) = x^2 - 1 \Rightarrow 4x + 20 = x^2 - 1 \Rightarrow x^2 - 4x - 21 = 0$.
    Корни: $x = \frac{4 \pm 10}{2} \Rightarrow x_1 = 7$, $x_2 = -3$.
    Ответ: -3; 7.
  10. Найдите положительные значения $y$, удовлетворяющие системе неравенств: $\left\{\begin{array}{l} 15(y-4)-14(y-3) \text{<} y(y-9) \\ \frac{5-y}{3}-y \text{<} 14-\frac{2-y}{6} \end{array}\right.$
    Решение: Преобразуем первое неравенство:
    $15y - 60 - 14y + 42 < y^2 - 9y \Rightarrow y - 18 0$.
    Корни: $y = 5 \pm \sqrt{7}$. Решение: $y 5 + \sqrt{7}$.
    Второе неравенство:
    $\frac{5 - y}{3} - y > 14 - \frac{2 - y}{6} \Rightarrow 2(5 - y) - 6y > 84 - (2 - y) \Rightarrow 10 - 8y > 82 + y \Rightarrow -9y > 72 \Rightarrow y < -8$.
    Положительных решений нет.
    Ответ: Нет решений.
Материалы школы Юайти