Школа № 2007 ФМШ из 8 в 9 класс 2017 год вариант 1-2

ШКОЛА № 2007

2017 год

1. Упростите выражение: $\left(1-\frac{2 b}{a+2 b}\right):\left(\frac{2 b-a}{a+2 b} \cdot\left(1+\frac{a}{a-2 b}\right)\right)$.
2. Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}x+3 y^{2}=7, \\ 2 x+5 y^{2}=13 .\end{array}\right.$
3. Упростите выражение: $\frac{9 \sqrt{8}-6 \sqrt{12}+3 \sqrt{20}}{3 \sqrt{18}-2 \sqrt{27}+\sqrt{45}} .$
4. Сократите дробь: $\frac{3 x^{2}+x-14}{3 x^{2}+4 x-7}$.
5. В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 8 см, а другой - на 4 см. Найдите гипотенузу.
6. Решите уравнение: $\frac{40}{4-x^{2}}+\frac{7-2 x}{x+2}=\frac{x+3}{2-x}$.
7. Пешеход прошел расстояние АВ за 3 часа. Возвращаясь, он первые 16 км шел с той же скоростью, а затем снизил скорость на 1 км/ч, вследствие чего затратил на обратный путь на 4 минуты больше, чем на путь из А в В. Чему равно расстояние АВ?
8. Решите неравенство: $\frac{3 x+2}{5}-x>3-\frac{1+4 x}{10}$.
9. Решите систему уравнени: $\left\{\begin{array}{l}x+y=6, \\ \frac{x}{y}=5 .\end{array}\right.$
10. Имелись два разных сплава меди. Причем процент содержания меди в первом сплаве был на $40 \%$ меньше, чем во втором. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий $36 \%$ меди. Определите процентное содержание меди в обоих сплавах, если известно, что в первом ее $6 \mathrm{Kr}$, а во втором - вдвое больше.

Решения задач

1. Упростите выражение: $\left(1-\frac{2 b}{a+2 b}\right):\left(\frac{2 b-a}{a+2 b} \cdot\left(1+\frac{a}{a-2 b}\right)\right)$.
   Решение:
   Упростим числитель и знаменатель отдельно:
   Числитель: $1 - \frac{2b}{a + 2b} = \frac{a + 2b - 2b}{a + 2b} = \frac{a}{a + 2b}$.
   Знаменатель: $\frac{2b - a}{a + 2b} \cdot \left(1 + \frac{a}{a - 2b}\right) = \frac{2b - a}{a + 2b} \cdot \frac{2a - 2b}{a - 2b} = \frac{-(a - 2b)}{a + 2b} \cdot \frac{2(a - b)}{a - 2b} = -\frac{2(a - b)}{a + 2b}$.
   Деление числителя на знаменатель:
   $\frac{a}{a + 2b} : \left(-\frac{2(a - b)}{a + 2b}\right) = -\frac{a}{2(a - b)}$.
   Ответ: $-\frac{a}{2a - 2b}$.
2. Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}x+3 y^{2}=7, \\ 2 x+5 y^{2}=13 .\end{array}\right.$
   Решение:
   Вычтем первое уравнение, умноженное на 2, из второго:
   $2x + 5y^2 - 2x - 6y^2 = 13 - 14 \Rightarrow -y^2 = -1 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm1$.
   Подставим $y = 1$ в первое уравнение: $x + 3 = 7 \Rightarrow x = 4$.
   Аналогично для $y = -1$: $x + 3 = 7 \Rightarrow x = 4$.
   Ответ: $(4; 1)$ и $(4; -1)$.
3. Упростите выражение: $\frac{9 \sqrt{8}-6 \sqrt{12}+3 \sqrt{20}}{3 \sqrt{18}-2 \sqrt{27}+\sqrt{45}} .$
   Решение:
   Упростим корни:
   Числитель: $9 \cdot 2\sqrt{2} - 6 \cdot 2\sqrt{3} + 3 \cdot 2\sqrt{5} = 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3} + 6\sqrt{5}$.
   Знаменатель: $3 \cdot 3\sqrt{2} - 2 \cdot 3\sqrt{3} + 3\sqrt{5} = 9\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$.
   Отношение числителя к знаменателю: $\frac{18\sqrt{2} - 12\sqrt{3} + 6\sqrt{5}}{9\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} = 2$.
   Ответ: 2.
4. Сократите дробь: $\frac{3 x^{2}+x-14}{3 x^{2}+4 x-7}$.
   Решение:
   Разложим числитель и знаменатель на множители:
   Числитель: $3x^2 + x - 14 = (3x + 7)(x - 2)$.
   Знаменатель: $3x^2 + 4x - 7 = (3x + 7)(x - 1)$.
   Сокращаем общий множитель $(3x + 7)$:
   $\frac{(3x + 7)(x - 2)}{(3x + 7)(x - 1)} = \frac{x - 2}{x - 1}$.
   Ответ: $\frac{x - 2}{x - 1}$.
5. В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 8 см, а другой - на 4 см. Найдите гипотенузу.
   Решение:
   Пусть гипотенуза $c$, тогда катеты $c - 8$ и $c - 4$.
   По теореме Пифагора: $(c - 8)^2 + (c - 4)^2 = c^2$.
   Раскроем скобки: $c^2 - 16c + 64 + c^2 - 8c + 16 = c^2 \Rightarrow 2c^2 - 24c + 80 = c^2 \Rightarrow c^2 - 24c + 80 = 0$.
   Решим квадратное уравнение: $c = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 320}}{2} = \frac{24 \pm 16}{2} \Rightarrow c = 20$ (второй корень $4$ не подходит).
   Ответ: 20 см.
6. Решите уравнение: $\frac{40}{4-x^{2}}+\frac{7-2 x}{x+2}=\frac{x+3}{2-x}$.
   Решение:
   Приведем к общему знаменателю $(4 - x^2) = (2 - x)(2 + x)$:
   Умножим все члены на $(2 - x)(2 + x)$:
   $40 + (7 - 2x)(2 - x) = (x + 3)(2 + x)$.
   Раскроем скобки: $40 + 14 - 7x - 4x + 2x^2 = x^2 + 5x + 6 \Rightarrow 54 - 11x + 2x^2 = x^2 + 5x + 6 \Rightarrow x^2 - 16x + 48 = 0$.
   Корни: $x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{2} = \frac{16 \pm 8}{2} \Rightarrow x = 12$ (корень $4$ не подходит).
   Ответ: 12.
7. Пешеход прошел расстояние АВ за 3 часа. Возвращаясь, он первые 16 км шел с той же скоростью, а затем снизил скорость на 1 км/ч, вследствие чего затратил на обратный путь на 4 минуты больше, чем на путь из А в В. Чему равно расстояние АВ?
   Решение:
   Пусть расстояние $x$ км, скорость $v = \frac{x}{3}$ км/ч.
   Время обратного пути: $\frac{16}{v} + \frac{x - 16}{v - 1} = 3 + \frac{4}{60} = \frac{46}{15}$ часов.
   Подставим $v = \frac{x}{3}$:
   $\frac{48}{x} + \frac{3(x - 16)}{x - 3} = \frac{46}{15}$.
   Решив уравнение, получим $x = 18$ км.
   Ответ: 18 км.
8. Решите неравенство: $\frac{3 x+2}{5}-x>3-\frac{1+4 x}{10}$.
   Решение:
   Умножим обе части на 10:
   $2(3x + 2) - 10x > 30 - (1 + 4x) \Rightarrow 6x + 4 - 10x > 29 - 4x \Rightarrow -4x + 4 > 29 - 4x \Rightarrow 4 > 29$.
   Неравенство неверно, решений нет.
   Ответ: нет решений.
9. Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}x+y=6, \\ \frac{x}{y}=5 .\end{array}\right.$
   Решение:
   Из второго уравнения: $x = 5y$.
   Подставим в первое: $5y + y = 6 \Rightarrow 6y = 6 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow x = 5$.
   Ответ: $(5; 1)$.
10. Определите процентное содержание меди в обоих сплавах, если известно, что в первом ее 6 кг, а во втором - вдвое больше.
    Решение:
    Пусть процент меди в первом сплаве $p\%$, во втором $(p + 40)\%$.
    Масса первого сплава: $\frac{6 \cdot 100}{p}$ кг, второго: $\frac{12 \cdot 100}{p + 40}$ кг.
    Концентрация смеси: $\frac{18}{\frac{600}{p} + \frac{1200}{p + 40}} = 0,36$.
    Решив уравнение, получим $p = \frac{38}{3}\%$, второй сплав $\frac{108}{3}\%$.
    Ответ: $\frac{38}{3}\%$ и $\frac{108}{3}\%$.