8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа № 2007 ФМШ из 7 в 8 класс 2024 год вариант 8-120

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2024
СкачатьПечать
youit.school ©

ШКОЛА № 2007


2024 год


Вариант 8-120



  1. Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{17}{15} - \frac{1}{12} \right) \times \frac{20}{3} \]

  2. Решите уравнение: \[ \frac{5x - 5}{3} - 2x = 2 \]

  3. Постройте график \( y = -\frac{1}{5}x + 4 \). Найдите координаты точек пересечения графика с осями абсцисс и ординат.

  4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} -5x + 5y = 2 \\ -5x + 9y = 4 \end{cases} \]

  5. Представьте выражение в виде многочлена: \( (a - b)^2(a + b) \)

  6. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, вторую треть — со скоростью 75 км/ч, а последнюю — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

  7. Разложите на множители многочлен: \[ xy + 3bx - 2ay - 6ab \]

  8. Два равных отрезка \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке так, что \( AO = CO \). Найдите, чему равен отрезок \( AD \), если \( BC = 8 \).

  9. В треугольнике \( ABC \) угол \( \angle A = 51^\circ \), \( \angle B = 77^\circ \). \( BD \) — биссектриса. Точка \( P \) лежит на стороне \( AC \) так, что \( PB = BC \). Найдите угол \( \angle ADP \).

  10. Через вершину \( B \) треугольника \( ABC \) проведена прямая, параллельная прямой \( AC \). Образовавшиеся при этом три угла с вершиной \( B \) относятся как \( 3 : 10 : 5 \). Найдите углы треугольника \( ABC \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{17}{15} - \frac{1}{12} \right) \times \frac{20}{3} \] Решение: \[ \frac{17}{15} - \frac{1}{12} = \frac{68}{60} - \frac{5}{60} = \frac{63}{60} = \frac{21}{20} \] \[ \frac{21}{20} \times \frac{20}{3} = \frac{21 \times 20}{20 \times 3} = 7 \] Ответ: 7.

  2. Решите уравнение: \[ \frac{5x - 5}{3} - 2x = 2 \] Решение: \[ 5x - 5 - 6x = 6 \quad | \times 3 \] \[ -x - 5 = 6 \quad \Rightarrow \quad -x = 11 \quad \Rightarrow \quad x = -11 \] Ответ: -11.

  3. Постройте график \( y = -\frac{1}{5}x + 4 \). Найдите координаты точек пересечения графика с осями абсцисс и ординат.
    Решение:
    • С осью ординат (\( x = 0 \)): \( y = 4 \). Точка: \( (0; 4) \).
    • С осью абсцисс (\( y = 0 \)): \( -\frac{1}{5}x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \). Точка: \( (20; 0) \).
    Ответ: \( (0; 4) \) и \( (20; 0) \).

  4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} -5x + 5y = 2 \\ -5x + 9y = 4 \end{cases} \] Решение: \[ \begin{cases} -5x + 5y = 2 \\ (-5x + 9y) - (-5x + 5y) = 4 - 2 \end{cases} \] \[ 4y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 0,5 \] \[ -5x + 5 \times 0,5 = 2 \quad \Rightarrow \quad -5x = -0,5 \quad \Rightarrow \quad x = 0,1 \] Ответ: \( (0,1; 0,5) \).

  5. Представьте выражение в виде многочлена: \( (a - b)^2(a + b) \)
    Решение: \[ (a^2 - 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + a^2b - 2a^2b - 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 \] Ответ: \( a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 \).

  6. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, вторую треть — со скоростью 75 км/ч, а последнюю — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
    Решение: \[ v_{ср} = \frac{3}{\frac{1}{100} + \frac{1}{75} + \frac{1}{60}} = \frac{3}{\frac{3 + 4 + 5}{300}} = \frac{3 \times 300}{12} = 75 \] Ответ: 75 км/ч.

  7. Разложите на множители многочлен: \[ xy + 3bx - 2ay - 6ab \] Решение: \[ x(y + 3b) - 2a(y + 3b) = (x - 2a)(y + 3b) \] Ответ: \( (x - 2a)(y + 3b) \).

  8. Два равных отрезка \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке так, что \( AO = CO \). Найдите, чему равен отрезок \( AD \), если \( BC = 8 \).
    Решение: Треугольники \( AOD \) и \( COB \) равны по SAS (\( AO = CO \), \( \angle AOD = \angle COB \), \( BO = OD \)). Следовательно, \( AD = BC = 8 \). Ответ: 8.

  9. В треугольнике \( ABC \) угол \( \angle A = 51^\circ \), \( \angle B = 77^\circ \). \( BD \) — биссектриса. Точка \( P \) лежит на стороне \( AC \) так, что \( PB = BC \). Найдите угол \( \angle ADP \).
    Решение:
    • \( \angle C = 180^\circ - 51^\circ - 77^\circ = 52^\circ \)
    • \( \angle ABD = \angle DBC = 38,5^\circ \)
    • \( \triangle PBC \) — равнобед PB = BC \ PB = BC \)) \( \Rightarrow \angle BPC = \angle BCP = 64^\circ \)
    • \( \angle APD = 180^\circ - 64^\circ - 51^\circ = 65^\circ \)
    • \( \angle ADP = 180^\circ - 65^\circ - 90^\circ = 25^\circ \) (с учетом свойств биссектрисы)
    Ответ: \( 25^\circ \).

  10. Через вершину \( B \) треугольника \( ABC \) проведена прямая, параллельная прямой \( AC \). Образовавшиеся при этом три угла с вершиной \( B \) относятся как \( 3 : 10 : 5 \). Найдите углы треугольника \( ABC \).
    Решение:
    • Сумма отношений: \( 3 + 10 + 5 = 18 \)
    • \( 18x = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad x = 10^\circ \)
    • Углы при \( B \): \( 30^\circ, 100^\circ, 50^\circ \)
    • \( \angle ABC = 30^\circ \), \( \angle BAC = 50^\circ \), \( \angle ACB = 100^\circ \) (соответственные углы при параллельных прямых)
    Ответ: \( 50^\circ, 30^\circ, 100^\circ \).
Материалы школы Юайти