Школа № 2007 ФМШ из 7 в 8 класс 2018 год вариант 1-1
Печать
youit.school ©
ШКОЛА № 2007
2017 год
- Найдите значение числового выражения:
\[
\frac{52{,}0}{6} - \left( \frac{125{,}4}{45} \cdot \frac{214}{1586} \right)
\]
- Решите уравнение:
\[
\left( \frac{1}{3} - \frac{2x}{3} \right) \cdot (2x - 3) = 6
\]
- Задайте формулой линейную функцию \( y = kx \), график которой параллелен графику данной функции:
\[
y = \frac{3}{2}x + 1
\]
- Упростите выражение:
\[
\frac{6a^2}{16a^4} \cdot \frac{9a^7}{2a^6}
\]
- Упростите выражение:
\[
(10a^5x^2)(5a^6x^9)(4a^9x^6)
\]
- Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух других.
- Катер плыл 4 часа по течению и 3 часа против течения. За это время он прошёл 93 км. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.
- Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
\[
(m + 1)^2 - (m - 1)^2 + 2m(m - 2)
\]
- Разложите многочлен на множители:
\[
a^3 + b^3 - ab^2 - 2a^2b
\]
- Когда угол между часовой и минутной стрелками больше: в 11:55 или в 12:10?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Найдите значение числового выражения: \[ \frac{52{,}0}{6} - \left( \frac{125{,}4}{45} \cdot \frac{214}{1586} \right) \] Решение: \[ \frac{52}{6} = 8\frac{2}{3} \approx 8,6667 \] \[ \frac{125,4}{45} = 2,7867; \quad \frac{214}{1586} = \frac{107}{793} \approx 0,135 \] \[ 2,7867 \cdot 0,135 \approx 0,3762 \] \[ 8,6667 - 0,3762 \approx 8,2905 \] Ответ: 8,29.
- Решите уравнение: \[ \left( \frac{1}{3} - \frac{2x}{3} \right) \cdot (2x - 3) = 6 \] Решение: Умножим обе части на 3: \[ (1 - 2x)(2x - 3) = 18 \] Раскроем скобки: \[ 2x - 3 - 4x^2 + 6x = 18 \] \[ -4x^2 + 8x - 21 = 0 \] \[ 4x^2 - 8x + 21 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 64 - 336 = -272 < 0 \] Ответ: Нет действительных корней.
- Задайте формулой линейную функцию \( y = kx \), график которой параллелен графику данной функции: \[ y = \frac{3}{2}x + 1 \] Решение: Параллельные графики имеют одинаковый угловой коэффициент. \[ k = \frac{3}{2} \] Ответ: \( y = \frac{3}{2}x \).
- Упростите выражение: \[ \frac{6a^2}{16a^4} \cdot \frac{9a^7}{2a^6} \] Решение: \[ \frac{6 \cdot 9}{16 \cdot 2} \cdot a^{2+7-4-6} = \frac{54}{32} \cdot a^{-1} = \frac{27}{16a} \] Ответ: \( \frac{27}{16a} \).
- Упростите выражение: \[ (10a^5x^2)(5a^6x^9)(4a^9x^6) \] Решение: \[ 10 \cdot 5 \cdot 4 \cdot a^{5+6+9} \cdot x^{2+9+6} = 200a^{20}x^{17} \] Ответ: \( 200a^{20}x^{17} \).
- Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух других. Решение: Пусть числа: \( n, n+1, n+2 \). Уравнение: \[ (n+1)(n+2) - n^2 = 65 \] \[ n^2 + 3n + 2 - n^2 = 65 \] \[ 3n = 63 \quad \Rightarrow \quad n = 21 \] Ответ: 21, 22, 23.
- Катер плыл 4 часа по течению и 3 часа против течения. За это время он прошёл 93 км. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч. Решение: Пусть \( v \) — собственная скорость. Уравнение: \[ 4(v+2) + 3(v-2) = 93 \] \[ 4v + 8 + 3v - 6 = 93 \] \[ 7v = 91 \quad \Rightarrow \quad v = 13 \] Ответ: 13 км/ч.
- Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: \[ (m + 1)^2 - (m - 1)^2 + 2m(m - 2) \] Решение: \[ (m^2 + 2m + 1) - (m^2 - 2m + 1) +^2 -^2 - 4m \] \[ 4m + 2m^2 - 4m = 2m^2 \] Ответ: \( 2m^2 \).
- Разложите многочлен на множители: \[ a^3 + b^3 - ab^2 - 2a^2b \] Решение: Группировка: \[ (a^3 - 2a^2b) + (b^3 - ab^2) = a^2(a - 2b) + b^2(b - a) \] \[ (a - 2b)(a^2 - b^2) = (a - 2b)(a - b)(a + b) \] Ответ: \( (a - 2b)(a - b)(a + b) \).
- Когда угол между часовой и минутной стрелками больше: в 11:55 или в 12:10? Решение: Формула угла между стрелками: \[ \theta = \left|30H - 5.5M\right| \] Для 11:55: \[ \theta = |30 \cdot 11 - 5.5 \cdot 55| = |330 - 302.5| = 27.5^{\circ} \] Для 12:10: \[ \theta = |30 \cdot 12 - 5.5 \cdot 10| = |360 - 55| = 305^{\circ} \quad (\text{берем меньший угол: } 55^{\circ}) \] Ответ: В 12:10 угол больше.
Материалы школы Юайти