Школа № 2007 ФМШ из 7 в 8 класс 2018 год вариант 1
Печать
youit.school ©
ШКОЛА № 2007
2017 год
- Найдите значение выражения:
\[
\left( \frac{8}{7} - \frac{6}{5} \right) : \frac{4}{3} + \frac{3}{2} : \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{1} \right) - \frac{1}{7} \cdot \left( \frac{2}{4} - \frac{3}{1} \right)
\]
- Решите уравнение:
\[
1{,}0 - (13x - 0{,}9) = 25{,}0 - (1{,}2x - 0{,}7)
\]
- Задайте формулой линейную функцию, графиком которой служит прямая, проходящая через точку \( A(3; 2) \) и параллельная графику функции \( y = -1{,}5x + 3 \). Постройте её график.
- Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида и укажите его степень:
\[
(-0{,}5ab^2c) \cdot (16abc^2) \cdot (-1{,}9a^2b)
\]
- Если к задуманному числу приписать справа ноль и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число задумано?
- За 4 часа катер проходит по течению расстояние, в 2{,}4 раза большее, чем за 2 часа против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 1,5 км/ч?
- Упростите выражение:
\[
(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)
\]
- Упростите:
\[
(a - 2)(a - 7)(a + 2)(a + 14)
\]
- Решите уравнение:
\[
2(x - 7)^2 = (3x - 2)^2
\]
- Можно ли выписать несколько раз подряд числа 2015 и 2016 так, чтобы полученное многозначное число было кратно и 2015, и 2016?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Найдите значение выражения:
\[
\left( \frac{8}{7} - \frac{6}{5} \right) : \frac{4}{3} + \frac{3}{2} : \left( \frac{1}{2} - 3 \right) - \frac{1}{7} \cdot \left( \frac{1}{2} - 3 \right)
\]
Решение:
\[
\left( \frac{40}{35} - \frac{42}{35} \right) \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{2} : \left( -\frac{5}{2} \right) - \frac{1}{7} \cdot \left( -\frac{5}{2} \right)
\]
\[
= \left( -\frac{2}{35} \right) \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \cdot \left( -\frac{2}{5} \right) + \frac{5}{14}
\]
\[
= -\frac{3}{70} - \frac{3}{5} + \frac{5}{14} = -\frac{3}{70} - \frac{42}{70} + \frac{25}{70} = -\frac{20}{70} = -\frac{2}{7}
\]
Ответ: $-\frac{2}{7}$.
- Решите уравнение:
$1{,}0 - (13x - 0{,}9) = 25{,}0 - (1{,}2x - 0{,}7)$
Решение:
\[ 1{,}9 - 13x = 25{,}7 - 1{,}2x \] \[ -13x + 1{,}2x = 25{,}7 - 1{,}9 \] $-11{,}8x$ = $23{,}8$ $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad x$ = $-\frac{23{,}8}{11{,}8}$ = $-2\frac{1}{59}$.
- Задайте формулой линейную функцию, графиком которой служит прямая, проходящая через точку \( A(3; 2) \) и параллельная графику функции \( y = -1{,}5x + 3 \).
Решение: У параллельных прямых одинаковый угловой коэффициент: \[ y = -1{,}5x + b \] Подставляем координаты точки \( A \): \[ 2 = -1{,}5 \cdot 3 + b \quad \Rightarrow \quad b = 6{,}5 \] Ответ: \( y = -1{,}5x + 6{,}5 \).
- Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида:
\[
(-0{,}5ab^2c) \cdot (16abc^2) \cdot (-1{,}9a^2b)
\]
Решение:
\[
(-0{,}5 \cdot 16 \cdot -1{,}9) \cdot a^{1+1+2} b^{2+1+1} c^{1+2} = 15{,}2a^4b^4c^3
\]
Степень: \( 4 + 4 + 3 = 11 \).
Ответ: \( 15{,}2a^4b^4c^3 \), степень 11.
- Если к задуманному числу приписать справа ноль и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число задумано?
Решение: Пусть задуманное число \( x \): \[ 143 - 10x = 3x \quad \Rightarrow \quad 13x = 143 \quad \Rightarrow \quad x = 11 \] Ответ: 11.
- За 4 часа катер проходит по течению расстояние, в 2{,}4 раза большее, чем за 2 часа против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 1{,}5 км/ч?
Решение: Пусть скорость катера \( v \) км/ч: \[ 4(v + 1{,}5) = 2{,}4 \cdot 2(v - 1{,}5) \] \[ 4v + 6 = 4{,}8v - 7{,}2 \quad \Rightarrow \quad 0{,}8v = 13{,}2 \quad \Rightarrow \quad v = 16{,}5 \] Ответ: $16{,}5$ км/ч.
- Упростите выражение:
\[
(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)
\]
Решение: Группируем попарно:
\[
(a^2 + 5a + 4)(a^2 + 5a + 6) = (a^2 + 5a)^2 + 10(a^2 + 5a) + 24
\]
\[
= a^4 + 10a^3 + 35a^2 + 50a + 24
\]
Ответ: \( a^4 + 10a^3 + 35a^2 + 50a + 24 \).
- Упростите:
\[
(a - 2)(a - 7)(a + 2)(a + 14)
\]
Решение: Перегруппируем множители:
\[
(a^2 - 4)(a^2 + 7a - 98) = a^4 + 7a^3 - 102a^2 - 28a + 392
\]
Ответ: \( a^4 + 7a^3 - 102a^2 - 28a + 392 \).
- Решите уравнение:
\[
2(x - 7)^2 = (3x - 2)^2
\]
Решение:
\[
2(x^2 - 14x + 49) = 9x^2 - 12x + 4
\]
\[
2x^2 - 28x + 98 = 9x^2 - 12x + 4
\]
\[
-7x^2 - 16x + 94 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-8 \pm 19\sqrt{2}}{7}
\]
Ответ: \( x = \frac{-8 \pm 19\sqrt{2}}{7} \).
- Можно ли выписать несколько раз подряд числа 2015 и 2016 так, чтобы полученное многозначное число было кратно и 2015, и 2016?
Решение: Нет. Число должно оканчиваться на 0 или 5 для делимости на 2015 (так как 2015 кратно 5), но чередование 2015 и 2016 приведёт к окончанию на 5 или 6, что противоречит условию делимости на 5.
Ответ: Нет.
Материалы школы Юайти