Школа № 2007 ФМШ из 7 в 8 класс 2017 год вариант 1-1

ШКОЛА № 2007

2017 год

1. Найдите значение выражения: $\frac{\left(2-1 \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{7}\right)\left(1 \frac{1}{3}-2 \frac{1}{2}: 3 \frac{3}{4}\right)}{2 \frac{1}{3}:\left(\frac{1}{4}-\frac{5}{6}+\frac{7}{8}\right)}$
2. Решите уравнение: $(0,7 x-2,1)-(0,5-2 x)=0,9(3 x-1)+0,1$
3. Задайте формулой линейную функцию, графиком которой служит прямая, проходящая через точку $A(2 ; 3)$ и параллельная графику функции $y=1,5 x-3$. Постройте ее график
4. Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида и укажите его степень: $-1,9 a b \cdot(-16 a b c) \cdot(-0,5 c)$
5. Если к задуманному числу приписать справа нуль и результат вычесть из числа 143 , то получится утроенное задуманное число. Какое число задумано?
6. За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2,4 раза большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения $1,5 \mathrm{\kappa m} / \mathrm{c}$ ?
7. Упростите выражение: $(a+1)(a+2)+(a+3)(a+4)$
8. Упростите: $\left(a^{2}-7\right)(a+2)-(2 a-1)(a-14)$
9. Преобразуйте в многочлен: $(2 x+1)^{2}-(x+7)(x-3)$
10. Решите уравнение: $(2 x-3)^{2}-(7-2 x)^{2}=2$

Решения задач

1. Найдите значение выражения: $\frac{\left(2-1 \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{7}\right)\left(1 \frac{1}{3}-2 \frac{1}{2}: 3 \frac{3}{4}\right)}{2 \frac{1}{3}:\left(\frac{1}{4}-\frac{5}{6}+\frac{7}{8}\right)}$
   Решение:
   Числитель:
   $2 - 1\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{7} = 2 - \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{7} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
   $1\frac{1}{3} - 2\frac{1}{2} : 3\frac{3}{4} = \frac{4}{3} - \frac{5}{2} : \frac{15}{4} = \frac{4}{3} - \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$
   Числитель: $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$
   Знаменатель:
   $\frac{1}{4} - \frac{5}{6} + \frac{7}{frac{6frac{6}{24} - \frac{20}{24} + \frac{21}{24} = \frac{7}{24}$
   $2\frac{1}{3} : \frac{7}{24} = \frac{7}{3} \cdot \frac{24}{7} = 8$
   Итог: $\frac{1}{8} = 0,125$
   Ответ: 0,125.
   
   
2. Решите уравнение: $(0,7 x-2,1)-(0,5-2 x)=0,9(3 x-1)+0,1$
   Решение:
   Раскроем скобки:
   $0,7x - 2,1 - 0,5 + 2x = 2,7x - 0,9 + 0,1$
   Соберем подобные:
   $2,7x - 2,6 = 2,7x - 0,8$
   Перенесем все в левую часть:
   $2,7x - 2,6 - 2,7x + 0,8 = 0$
   $-1,8 = 0$ — противоречие
   Ответ: корней нет.
   
   
3. Задайте формулой линейную функцию, графиком которой служит прямая, проходящая через точку $A(2 ; 3)$ и параллельная графику функции $y=1,5 x-3$. Постройте ее график
   Решение:
   У параллельных прямых одинаковый угловой коэффициент: $k = 1,5$
   Уравнение: $y = 1,5x + b$
   Подставим координаты точки A:
   $3 = 1,5 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 0$
   Формула: $y = 1,5x$
   График проходит через начало координат и точку A(2;3)
   Ответ: $y = 1,5x$.
   
   
4. Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида и укажите его степень: $-1,9 a b \cdot(-16 a b c) \cdot(-0,5 c)$
   Решение:
   Перемножим коэффициенты:
   $-1,9 \cdot (-16) \cdot (-0,5) = -15,2$
   Перемножим переменные:
   $a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot c \cdot c = a^2b^2c^2$
   Степень: $2 + 2 + 2 = 6$
   Ответ: $-15,2a^2b^2c^2$, степень 6.
   
   
5. Если к задуманному числу приписать справа нуль и результат вычесть из числа 143 , то получится утроенное задуманное число. Какое число задумано?
   Решение:
   Пусть задуманное число $x$, тогда:
   $143 - 10x = 3x$
   $13x = 143 \Rightarrow x = 11$
   Ответ: 11.
   
   
6. За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2,4 раза большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения $1,5 \mathrm{км/ч}$?
   Решение:
   Пусть скорость катера $v$ км/ч:
   $4(v + 1,5) = 2,4 \cdot 2(v - 1,5)$
   $4v + 6 = 4,8v - 7,2$
   $0,8v = 13,2 \Rightarrow v = 16,5$
   Ответ: 16,5 км/ч.
   
   
7. Упростите выражение: $(a+1)(a+2)+(a+3)(a+4)$
   Решение:
   Раскроем скобки:
   $(a^2 + 3a + 2) + (a^2 + 7a + 12) = 2a^2 + 10a + 14$
   Ответ: $2a^2 + 10a + 14$.
   
   
8. Упростите: $\left(a^{2}-7\right)(a+2)-(2 a-1)(a-14)$
   Решение:
   Раскроем произведения:
   $a^3 + 2a^2 - 7a - 14 - (2a^2 - 28a - a + 14)$
   $a^3 + 2a^2 - 7a - 14 - 2a^2 + 29a - 14$
   Упростим:
   $a^3 + 22a - 28$
   Ответ: $a^3 + 22a - 28$.
   
   
9. Преобразуйте в многочлен: $(2 x+1)^{2}-(x+7)(x-3)$
   Решение:
   Раскроем квадрат и произведение:
   $4x^2 + 4x + 1 - (x^2 + 4x - 21)$
   Упростим:
   $3x^2 + 22$
   Ответ: $3x^2 + 22$.
   
   
10. Решите уравнение: $(2 x-3)^{2}-(7-2 x)^{2}=2$
    Решение:
    Применим разность квадратов:
    $(2x - 3 - 7 + 2x)(2x - 3 + 7 - 2x) = 2$
    $(4x - 10)(4) = 2$
    $16x - 40 = 2 \Rightarrow 16x = 42 \Rightarrow x = \frac{21}{8}$
    Ответ: $\frac{21}{8}$.