Школа № 2007 ФМШ из 7 в 8 класс 2017 год вариант 1

ШКОЛА № 2007

2017 год

Вариант 1

1. Найдите значение числового выражения: $\left(6 \frac{8}{15}-4 \frac{21}{45}\right) \cdot 4,5-2 \frac{1}{6}: 0,52$
2. Решите уравнение $6\left(\frac{2}{3} x-1\right)+(-2 x-3)=2(x-3)$
3. Задайте формулой линейную функцию $y=k x$, график которой параллелен графику данной линейной функции $y=\frac{1}{3} x+2$
4. Упростите выражение: $\frac{a^{7} \cdot a^{9}: a^{4}}{a^{16}: a^{6} \cdot a^{2}}$
5. Упростите выражение: $\frac{\left(10 a^{6} x^{5}\right)^{6}}{\left(5 a^{9} x^{2}\right)^{4} \cdot\left(2 a^{9} x^{6}\right)^{0}}$
6. Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух других чисел.
7. Катер плыл 4 ч по течению реки и 3 ч против течения, пройдя за это время расстояние 93 км. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
8. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: $\left(2 x^{2}+3 x+2\right)\left(-2 x^{2}+3 x-2\right)$
9. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: $m(2 m-1)^{2}-2(m+1)\left(m^{2}-m+1\right)$
10. Разложите многочлен на множители: $a^{3}+a^{2} b-a b^{2}-b^{3}$

Решения задач

1. Найдите значение числового выражения: $\left(6 \frac{8}{15}-4 \frac{21}{45}\right) \cdot 4,5-2 \frac{1}{6}: 0,52$
   Решение:
   $6\frac{8}{15} = \frac{98}{15}$, $4\frac{21}{45} = 4\frac{7}{15} = \frac{67}{15}$
   $\frac{98}{15} - \frac{67}{15} = \frac{31}{15}$
   $\frac{31}{15} \cdot 4,5 = \frac{31}{15} \cdot \frac{9}{2} = \frac{279}{30} = \frac{93}{10} = 9,3$
   $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$, $0,52 = \frac{13}{25}$
   $\frac{13}{6} : \frac{13}{25} = \frac{13}{6} \cdot \frac{25}{13} = \frac{25}{6} \approx 4,1667$
   $9,3 - 4,1667 = 5,1333 = \frac{77}{15}$
   Ответ: $\frac{77}{15}$.
   
   
2. Решите уравнение $6\left(\frac{2}{3} x-1\right)+(-2 x-3)=2(x-3)$
   Решение:
   $6 \cdot \frac{2}{3}x - 6 \cdot 1 - 2x - 3 = 2x - 6$
   $4x - 6 - 2x - 3 = 2x - 6$
   $2x - 9 = 2x - 6$
   $-9 = -6$ — неверное равенство.
   Ответ: нет корней.
   
   
3. Задайте формулой линейную функцию $y=k x$, график которой параллелен графику данной линейной функции $y=\frac{1}{3} x+2$
   Решение: Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$.
   Ответ: $y = \frac{1}{3}x$.
   
   
4. Упростите выражение: $\frac{a^{7} \cdot a^{9}: a^{4}}{a^{16}: a^{6} \cdot a^{2}}$
   Решение:
   Числитель: $a^{7+9-4} = a^{12}$
   Знаменатель: $a^{16-6+2} = a^{12}$
   $\frac{a^{12}}{a^{12}} = 1$
   Ответ: $1$.
   
   
5. Упростите выражение: $\frac{\left(10 a^{6} x^{5}\right)^{6}}{\left(5 a^{9} x^{2}\right)^{4} \cdot\left(2 a^{9} x^{6}\right)^{0}}$
   Решение:
   Числитель: $10^6 \cdot a^{36} \cdot x^{30}$
   Знаменатель: $5^4 \cdot a^{36} \cdot x^{8} \cdot 1$
   $\frac{10^6}{5^4} \cdot \frac{a^{36}}{a^{36}} \cdot \frac{x^{30}}{x^{8}} = 2^6 \cdot 5^{6-4} \cdot x^{22} = 64 \cdot 25 \cdot x^{22} = 1600x^{22}$
   Ответ: $1600x^{22}$.
   
   
6. Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух других чисел.
   Решение:
   Пусть числа: $n$, $n+1$, $n+2$.
   $n^2 + 65 = (n+1)(n+2)$
   $n^2 + 65 = n^2 + 3n + 2$
   $63 = 3n \quad \Rightarrow \quad n = 21$
   Ответ: 21; 22; 23.
   
   
7. Катер плыл 4 ч по течению реки и 3 ч против течения, пройдя за это время расстояние 93 км. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
   Решение:
   Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера.
   $4(x + 2) + 3(x - 2) = 93$
   $4x + 8 + 3x - 6 = 93$
   $7x + 2 = 93 \quad \Rightarrow \quad x = 13$
   Ответ: 13 км/ч.
   
   
8. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: $\left(2 x^{2}+3 x+2\right)\left(-2 x^{2}+3 x-2\right)$
   Решение:
   Раскрываем скобки:
   $-4x^4 + 6x^3 - 4x^2 - 6x^3 + 9x^2 - 6x - 4x^2 + 6x - 4$
   Сокращаем подобные:
   $-4x^4 + x^2 - 4$
   Ответ: $-4x^4 + x^2 - 4$.
   
   
9. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: $m(2 m-1)^{2}-2(m+1)\left(m^{2}-m+1\right)$
   Решение:
   Раскрываем скобки:
   $m(4m^2 - 4m + 1) - 2(m^3 - m^2 + m + m^2 - m + 1)$
   $4m^3 - 4m^2 + m - 2m^3 - 2$
   Сокращаем подобные:
   $2m^3 - 4m^2 + m - 2$
   Ответ: $2m^3 - 4m^2 + m - 2$.
   
   
10. Разложите многочлен на множители: $a^{3}+a^{2} b-a b^{2}-b^{3}$
    Решение:
    Группируем:
    $(a^3 + a^2b) - (ab^2 + b^3) = a^2(a + b) - b^2(a + b)$
    $(a + b)(a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)(a + b)$
    Ответ: $(a - b)(a + b)^2$.