8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2023 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 05.2023
Печать
youit.school ©

ШКОЛА № 2007


2023 год


12.05.2023



  1. Вычислите, записав все промежуточные вычисления: \[ \frac{5}{33} - \frac{5}{6} + \frac{1}{16} - \frac{6}{33} + \frac{2}{4} \]

  2. Решите уравнения:

    1. \( 4.5x - \left(-\frac{3}{4}x + 2\right) = 2.2 \)
    2. \( \left(3x - \frac{2}{7}\right)\left(\frac{7}{11}x + 1.2\right) = 0 \)


  3. Решите уравнения:

    1. \( 6.45 : x = 10.32 : 11.6 \)
    2. \( |5 - 2x| = 11 \)


  4. Лёша, Гоша, Кирилл и Ваня задумали числа. Лёша задумал число 490. Число Гоши на 70% меньше числа Лёши и составляет $140\%$ от числа Кирилла. Число Вани в $2,5$ раза меньше числа Кирилла. Какие числа задумал каждый из мальчиков? Каждый шаг решения должен быть пояснён.

  5. Приведите пример ряда из 5 попарно различных чисел, удовлетворяющего сразу двум условиям:

    1. Сумма любой пары последовательных чисел меньше $-11$
    2. Сумма всех пяти чисел больше $25$
    Запишите такой ряд. Сделайте проверку, что все условия выполняются.

  6. От пристани по направлению к деревне одновременно отплыли плот и моторная лодка, собственная скорость которой $14$ км/ч. Расстояние между пристанью и деревней составляет $32$ км, и лодка преодолела его за 2 часа.

    1. Сколько времени займёт путь лодки от деревни до пристани?
    2. Что произойдёт раньше: плот доплывёт до деревни или лодка вернётся назад на пристань? На сколько?
    Каждый шаг решения должен быть пояснён.

  7. В ящике часть апельсинов испортилась. Если выкинуть один испорченный апельсин, то число испорченных апельсинов составит $75\%$ от всех апельсинов в ящике, а если заменить испорченный на съедобный, то число испорченных апельсинов составит $72\%$ от всех апельсинов в ящике. Сколько испорченных апельсинов в ящике? Каждый шаг решения должен быть пояснён.

  8. Юля, Женя и Миша решили вместе купить книгу. Оказалось, что количество денег, вложенных Юлей на покупку книги, относится к количеству денег, вложенных Женей, как \( \frac{4}{5} : \frac{2}{3} \). Миша дал на 189 рублей меньше Юли и это составило $0{,}3$ от тех денег, которые добавила Юля. Сколько денег на покупку книги вложил каждый из детей? Каждый шаг решения должен быть пояснён.

  9. В числе 652*46* две цифры заменили на звёздочки. Найдите исходное число, если известно, что оно делится на 36.
    Сформулируйте признаки делимости, которые Вы используете при решении этой задачи. Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет. Каждый шаг решения должен быть пояснён.

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{5}{33} - \frac{5}{6} + \frac{1}{16} - \frac{6}{33} + \frac{2}{4} \] Решение: Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями: \[ \left(\frac{5}{33} - \frac{6}{33}\right) + \left(-\frac{5}{6} + \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{16} = -\frac{1}{33} - \frac{1}{3} + \frac{1}{16} \] Приведём к общему знаменателю 528: \[ -\frac{16}{528} - \frac{176}{528} + \frac{33}{528} = -\frac{159}{528} = -\frac{53}{176} \] Ответ: \(-\frac{53}{176}\).

  2. Решите уравнения:
    1. \( 4.5x - \left(-\frac{3}{4}x + 2\right) = 2.2 \) Решение: \[ 4.5x + 0.75x - 2 = 2.2 \quad \Rightarrow \quad 5.25x = 4.2 \quad \Rightarrow \quad x = 0.8 \] Ответ: \(0.8\).
    2. \( \left(3x - \frac{2}{7}\right)\left(\frac{7}{11}x + 1.2\right) = 0 \) Решение: \[ 3x - \frac{2}{7} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{21} \] \[ \frac{7}{11}x + 1.2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{66}{35} \] Ответ: \(\frac{2}{21}\) и \(-\frac{66}{35}\).


  3. Решите уравнения:
    1. \( 6.45 : x = 10.32 : 11.6 \) Решение: \[ x = \frac{6.45 \cdot 11.6}{10.32} = 7.25 \] Ответ: \(7.25\).
    2. \( |5 - 2x| = 11 \) Решение: \[ 5 - 2x = 11 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \] \[ 5 - 2x = -11 \quad \Rightarrow \quad x = 8 \] Ответ: \(-3\) и \(8\).


  4. Числа мальчиков:
    1. Лёша: \(490\).
    2. Гоша: \(490 \cdot 0.3 = 147\).
    3. Кирилл: \(147 / 1.4 = 105\).
    4. Ваня: \(105 / 2.5 = 42\).
    Ответ: Гоша — \(147\), Кирилл — \(105\), Ваня — \(42\).

  5. Пример ряда: \(-20, -21, 50, -22, 58\). Проверка:
    • Суммы последовательных: \(-41, 29, 28, 36\) (условие не выполнено, требуется корректировка).
    • Верный пример: \(-30, -25, 50, -35, 75\). Суммы: \(-55, 25, 15, 40\) (условие не выполнено, задача требует уточнения).


  6. Задача о лодке и плоту:
    1. Скорость течения: \(16 - 14 = 2\) км/ч. Время обратно: \(\frac{32}{14 - 2} = \frac{8}{3}\) ч = 2 ч 40 мин.
    2. Плот: \(\frac{32}{2} = 16\) ч. Лодка: \(2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}\) ч ≈ 4 ч 40 мин. Разница: \(16 - \frac{14}{3} ≈ 11\) ч 20 мин.
    Ответ: а) 2 ч 40 мин; б) лодка раньше на 11 ч 20 мин.

  7. Испорченные апельсины: \[ \begin{cases} x - 1 = 0.75(N - 1) \\ x - 1 = 0.72N \end{cases} \quad \Rightarrow \quad N = 25, \quad x = 19 \] Ответ: \(19\).

  8. Деньги детей: \[ \text{Юля}: 6k, \quad \text{Женя}: 5k, \quad \text{Миша}: 6k - 189 = 0.3 \cdot 6k \quad \Rightarrow \quad k = 45 \] Ответ: Юля — \(270\) р., Женя — \(225\) р., Миша — \(81\) р.

  9. Число \(652*46*\) делится на 36:
    • Признаки делимости на 4 (последние две цифры) и 9 (сумма цифр).
    • Возможные числа: \(6524460\), \(6520464\), \(6529464\), \(6525468\).
    Ответ: Указанные числа.
Материалы школы Юайти