Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2022 год вариант 1
Печать
youit.school ©
Школа № 2007
2022 год
22.04.2022
- Вычислите, записав все промежуточные вычисления:
\[
\frac{5}{33} \cdot \left( 3 \frac{1}{6} : 2\frac{2}{4} - 3\frac{3}{4} \right) \cdot \left(5 \frac{1}{6} : 2\frac{1}{4}\right).
\]
- Решите уравнения:
- $2(x+1)-(3x-1)=14$;
- $8x-\left(\frac{2}{3}x+4\right)=2,4$;
- $\left(3x-\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{2}{5}x+1,4\right)=0$.
- Решите уравнения:
- $6,45:x=10,32:2,4$;
- $|3-5x|=20$.
- Гружёная фура весит 5 тонн. 45% этого веса приходится на груз. Если убрать груз, то вес водителя и его напарника составляет $\frac{3}{55}$ от оставшегося веса. Водитель весит вдвое больше напарника. Сколько весит пустая фура? Сколько весит напарник? Сколько весит груз? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
- Запишите 5 различных чисел, удовлетворяющих двум условиям:
- Произведение любой пары последовательных чисел — целое число.
- Произведение всех пяти чисел — не целое число.
- Скорость лодки против течения равна 16{,}4 км/ч, что составляет $\frac{2}{3}$ от скорости лодки по течению. За какое время лодка пройдёт одно и то же расстояние, равное 8{,}2 км, если её собственная скорость не изменится? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
- Ящик с апельсинами весил 12 кг, причём вес апельсинов составлял 80% всего веса. В ящик добавили ещё апельсинов. Теперь вес апельсинов составляет 95% от общего веса. Сколько теперь весит ящик с апельсинами? Сколько весят апельсины, добавленные в ящик? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
- У бабы Нюры живут три кота: Барсик, Рыжик и Пушок. Каждый месяц баба Нюра покупает корм для своих питомцев. Известно, что за месяц Барсик съедает $\frac{5}{6}$ от того, что съедает Рыжик. А отношение съеденного за месяц Барсиком к съеденному за месяц Пушком составляет $2{,}4:1{,}6$. Причём самый прожорливый за месяц съедает на 3,4 кг корма больше, чем наименее прожорливый. Сколько корма баба Нюра покупает каждый месяц? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
- В числе $6{,}3\ast72\ast$ две цифры заменили на звёздочки. Найдите исходное число, если известно, что оно делится на 15.
Сформулируйте признак делимости, которым Вы используете при решении этой задачи. Найдите все возможные варианты и докажите, что других ответов нет. Каждый шаг решения должен быть пояснен.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\frac{5}{33} \cdot \left( 3 \frac{1}{6} : 2\frac{2}{4} - 3\frac{3}{4} \right) \cdot \left(5 \frac{1}{6} : 2\frac{1}{4}\right)
\]
Решение:
\[
3\frac{1}{6} = \frac{19}{6}, \quad 2\frac{2}{4} = \frac{5}{2}, \quad 3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}
\]
\[
\frac{19}{6} : \frac{5}{2} = \frac{19}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{38}{30} = \frac{19}{15}
\]
\[
\frac{19}{15} - \frac{15}{4} = \frac{76}{60} - \frac{225}{60} = -\frac{149}{60}
\]
\[
5\frac{1}{6} = \frac{31}{6}, \quad 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}
\]
\[
\frac{31}{6} : \frac{9}{4} = \frac{31}{6} \cdot \frac{4}{9} = \frac{124}{54} = \frac{62}{27}
\]
\[
\frac{5}{33} \cdot \left(-\frac{149}{60}\right) \cdot \frac{62}{27} = -\frac{5 \cdot 149 \cdot 62}{33 \cdot 60 \cdot 27} = -\frac{46190}{53460} = -\frac{4619}{5346}
\]
Ответ: \(-\frac{4619}{5346}\).
- Решите уравнения:
- \(2(x+1)-(3x-1)=14\) Решение: \[ 2x + 2 - 3x + 1 = 14 \quad \Rightarrow \quad -x + 3 = 14 \quad \Rightarrow \quad x = -11 \] Ответ: \(-11\).
- \(8x-\left(\frac{2}{3}x+4\right)=2,4\) Решение: \[ 8x - \frac{2}{3}x - 4 = 2,4 \quad \Rightarrow \quad \frac{22}{3}x = 6,4 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6,4 \cdot 3}{22} = \frac{48}{55} \] Ответ: \(\frac{48}{55}\).
- \(\left(3x-\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{2}{5}x+1,4\right)=0\) Решение: \[ 3x - \frac{1}{8} - \frac{2}{5}x - \frac{14}{10} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{13}{5}x = \frac{61}{40} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{61}{104} \] Ответ: \(\frac{61}{104}\).
- Решите уравнения:
- \(6,45:x=10,32:2,4\) Решение: \[ \frac{6,45}{x} = \frac{10,32}{2,4} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6,45 \cdot 2,4}{10,32} = 1,5 \] Ответ: \(1,5\).
- \(|3-5x|=20\) Решение: \[ 3 - 5x = 20 \quad \Rightarrow \quad x = -3,4 \] \[ 3 - 5x = -20 \quad \Rightarrow \quad x = 4,6 \] Ответ: \(-3,4\) и \(4,6\).
- Вес фуры с грузом — 5 тонн. Груз составляет 45\%:
\[
5 \cdot 0,45 = 2,25 \text{ т (груз)}, \quad 5 - 2,25 = 2,75 \text{ т (пустая фура)}
\]
Вес водителя и напарника:
\[
\frac{3}{55} \cdot 2,75 = 0,15 \text{ т} = 150 \text{ кг}
\]
Пусть напарник весит \(x\) кг:
\[
x + 2x = 150 \quad \Rightarrow \quad x = 50 \text{ кг}
\]
Ответ: пустая фура — 2,75 т, груз — 2,25 т, напарник — 50 кг.
- Пример ряда чисел: \(\frac{1}{2}, 4, \frac{1}{4}, 8, \frac{1}{8}\). Проверка:
\[
\frac{1}{2} \cdot 4 = 2, \quad 4 \cdot \frac{1}{4} = 1, \quad \frac{1}{4} \cdot 8 = 2, \quad 8 \cdot \frac{1}{8} = 1
\]
Общее произведение:
\[
\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot \frac{1}{8} = 0,5 \quad (\text{не целое})
\]
Ответ: \(\frac{1}{2}, 4, \frac{1}{4}, 8, \frac{1}{8}\).
- Скорость против течения \(v - u = 16,4\) км/ч, скорость по течению \(v + u = \frac{16,4 \cdot 3}{2} = 24,6\) км/ч. Решение системы:
\[
v = 20,5 \text{ км/ч}, \quad u = 4,1 \text{ км/ч}
\]
Время:
\[
t_1 = \frac{8,2}{16,4} = 0,5 \text{ ч}, \quad t_2 = \frac{8,2}{24,6} \approx 0,333 \text{ ч}
\]
Ответ: 0,5 ч и \(\frac{1}{3}\) ч.
- Исходный вес апельсинов: \(12 \cdot 0,8 = 9,6\) кг. Пусть добавлено \(x\) кг:
\[
\frac{9,6 + x}{12 + x} = 0,95 \quad \Rightarrow \quad x = 36 \text{ кг}
\]
Новый вес: \(12 + 36 = 48\) кг. Ответ: 48 кг, добавлено 36 кг.
- Пусть Рыжик съедает \(R\) кг:
\[
\text{Барсик} = \frac{5}{6}R, \quad \text{Пушок} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6}R = \frac{5}{9}R
\]
Разница:
\[
R - \frac{5}{9}R = 3,4 \quad \Rightarrow \quad R = 7,65 \text{ кг}
\]
Общий корм:
\[
R + \frac{5}{6}R + \frac{5}{9}R = \frac{43}{18}R = \frac{43}{18} \cdot 7,65 \approx 18,275 \text{ кг}
\]
Ответ: 18,275 кг.
- Число делится на 15, если оканчивается на 0 или 5 и сумма цифр делится на 3. Возможные числа: \[ 631725 \quad (\text{сумма }24), \quad 634725 \quad (\text{сумма }27) \] Ответ: 631725 и 634725.
Материалы школы Юайти