Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2020 год вариант 3

ШКОЛА № 2007

2020

06.06.2020

1. Задумали число. Его умножили или на 5, или на 6. Затем к результату прибавили или 5, или 6. Потом вычли или 5, или 6. В результате получилось 73. Какое число задумали? (Найти все варианты.)
   
   
2. Когда яйца раскладывали десятками, не хватило двух штук. Тогда решили раскладывать их дюжинами — и осталось 8 штук. Сколько яиц было, если их больше 420 и меньше 725?
   
   
3. В каких пропорциях нужно смешать 7-процентный и 19-процентный растворы йода, чтобы получить 16-процентный раствор?
   
   
4. Петя и Вася рвали стенгазету. Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася — на 9 частей. Когда их заставили подбирать обрывки, они нашли 2007 кусков. Все ли куски они нашли?
   
   
5. Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 350 м от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 420 м от другого берега. Какова ширина реки?

Решения задач

1. Задумали число. Его умножили или на 5, или на 6. Затем к результату прибавили или 5, или 6. Потом вычли или 5, или 6. В результате получилось 73. Какое число задумали? (Найти все варианты.)
   Решение: Пусть задуманное число — \( x \). Рассмотрим все возможные комбинации операций:
   
   1. Умножение на 5: \( 5x \)
   2. Прибавление 5 или 6: \( 5x + 5 \) или \( 5x + 6 \)
   3. Вычитание 5 или 6: \( 5x + 5 - 5 = 5x \), \( 5x + 5 - 6 = 5x - 1 \), \( 5x + 6 - 5 = 5x + 1 \), \( 5x + 6 - 6 = 5x \)
      Аналогично для умножения на 6:
   4. Умножение на 6: \( 6x \)
   5. Прибавление 5 или 6: \( 6x + 5 \) или \( 6x + 6 \)
   6. Вычитание 5 или 6: \( 6x + 5 - 5 = 6x \), \( 6x + 5 - 6 = 6x - 1 \), \( 6x + 6 - 5 = 6x + 1 \), \( 6x + 6 - 6 = 6x \)
   
   Из всех вариантов получаем уравнения:
   \( 5x = 73 \Rightarrow x = 14,6 \) (не целое)
   \( 5x - 1 = 73 \Rightarrow x = \frac{74}{5} = 14,8 \) (не целое)
   \( 5x + 1 = 73 \Rightarrow x = \frac{72}{5} = 14,4 \) (не целое)
   \( 6x = 73 \Rightarrow x \approx 12,17 \) (не целое)
   \( 6x - 1 = 73 \Rightarrow x = \frac{74}{6} \approx 12,33 \) (не целое)
   \( 6x + 1 = 73 \Rightarrow x = \frac{72}{6} = 12 \)
   Ответ: \( \boxed{12} \).
   
   
2. Когда яйца раскладывали десятками, не хватило двух штук. Тогда решили раскладывать их дюжинами — и осталось 8 штук. Сколько яиц было, если их больше 420 и меньше 725?
   Решение: Пусть \( N \) — количество яиц. По условию:
   \( N \equiv -2 \mod{10} \Rightarrow N \equiv 8 \mod{10} \)
   \( N \equiv 8 \mod{12} \)
   Тогда \( N = 60k + 8 \), где \( k \) — натуральное число (т.к. \( \text{НОК}(10, 12) = 60 \)).
   Учитывая диапазон \( 420 < N < 725 \):
   \( 420 < 60k + 8 < 725 \Rightarrow 412 < 60k < 717 \Rightarrow 6,87 < k < 11,95 \)
   \( k = 7, 8, 9, 10, 11 \)
   Проверим возможные значения:
   \( N = 60 \cdot 7 + 8 = 428 \) (не входит в диапазон)
   \( N = 60 \cdot 11 + 8 = 668 \)
   Ответ: \( \boxed{668} \).
   
   
3. В каких пропорциях нужно смешать 7-процентный и 19-процентный растворы йода, чтобы получить 16-процентный раствор?
   Решение: Используем правило смешивания («крест»):
   \[ \begin{array}{ccc} 19 & & 9 \\ & 16 & \\ 7 & & 3 \\ \end{array} \]
   Соотношение масс растворов: \( 9 : 3 = 3 : 1 \).
   Ответ: \( \boxed{3:1} \).
   
   
4. Петя и Вася рвали стенгазету. Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася — на 9 частей. Когда их заставили подбирать обрывки, они нашли 2007 кусков. Все ли куски они нашли?
   Решение: Каждый разрыв увеличивает количество кусков:
   Петя: \( 5 - 1 = 4 \) новых куска.
   Вася: \( 9 - 1 = 8 \) новых кусков.
   Общее количество кусков: \( 1 + 4a + 8b \).
   Проверим, можно ли представить \( 2007 - 1 = 2006 \) как \( 4a + 8b \):
   \( 2006 = 4(a + 2b) \Rightarrow 2006 \div 4 = 501,5 \) (не целое).
   Ответ: \( \boxed{\text{Нет}} \).
   
   
5. Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 350 м от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 420 м от другого берега. Какова ширина реки?
   Решение: Пусть ширина реки — \( S \), скорости паромов — \( v_1 \) и \( v_2 \).
   При первой встрече:
   \( \frac{350}{v_1} = \frac{S - 350}{v_2} \Rightarrow \frac{v_1}{v_2} = \frac{350}{S - 350} \)
   После встречи паромы проходят оставшиеся расстояния и разворачиваются. Ко времени второй встречи:
   \( \frac{S + 420}{v_1} = \frac{2S - 420}{v_2} \)
   Подставим отношение скоростей:
   \( \frac{S + 420}{2S - 420} = \frac{350}{S - 350} \)
   Решим уравнение:
   \( (S + 420)(S - 350) = 350(2S - 420) \)
   \( S^2 - 350S + 420S - 147000 = 700S - 147000 \)
   \( S^2 + 70S = 700S \)
   \( S^2 - 630S = 0 \Rightarrow S(S - 630) = 0 \)
   Ответ: \( \boxed{630} \) м.