Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2020 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ШКОЛА № 2007
2020
06.06.2020
- Женя купила конфеты. Сначала она съела \( \frac{1}{4} \) всех конфет и ещё 2 конфеты, потом — \( \frac{1}{4} \) остатка и ещё 1 конфету.
Сколько конфет было у Жени сначала, если у неё осталось не менее 13 и не более 21 конфеты?
- Вася упаковывает яблоки. Если он кладёт по 5 штук в коробку, то остаётся 1 яблоко,
если по 3 штуки — то 2 яблока, а если по 4 штуки в коробку — то остатка не остаётся.
Какое количество яблок могло быть у Васи, если у него было не менее 600 и не более 800 штук?
- В каких пропорциях нужно смешать 11-процентный и 23-процентный растворы йода,
чтобы получить 19-процентный раствор?
- На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается прибавить к любым двум числам по 1.
Можно ли за несколько ходов сравнять эти числа?
- Один путник прошёл первую половину пути со скоростью 4 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 5 км/ч. Другой шёл первую половину времени своего путешествия со скоростью 4 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 5 км/ч. С какой постоянной скоростью должен идти каждый из них, чтобы пройти этот путь за то же самое время?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Пусть изначально было \( x \) конфет. После первого этапа осталось:
\( x - \frac{x}{4} - 2 = \frac{3x}{4} - 2 \)
После второго этапа остаток:
\( \left(\frac{3x}{4} - 2\right) - \frac{1}{4}\left(\frac{3x}{4} - 2\right) - 1 = \frac{3}{4}\left(\frac{3x}{4} - 2\right) - 1 = \frac{9x}{16} - \frac{5}{2} \)
По условию: \( 13 \leq \frac{9x}{16} - \frac{5}{2} \leq 21 \)
Решим неравенство:
\( 13 + \frac{5}{2} \leq \frac{9x}{16} \leq 21 + \frac{5}{2} \)
\( \frac{31}{2} \leq \frac{9x}{16} \leq \frac{47}{2} \)
\( \frac{31 \cdot 16}{2 \cdot 9} \leq x \leq \frac{47 \cdot 16}{2 \cdot 9} \)
\( \frac{248}{9} \leq x \leq \frac{376}{9} \)
\( 27,\overline{5} \leq x \leq 41,\overline{7} \)
Так как \( x \) должно быть целым и делиться на 4 (из первого действия), подходит \( x = 32 \).
Проверка:
32 → 32 - 8 - 2 = 22 → 22 - 5.5 - 1 = 15.5 (не целое). Ошибка в расчётах. Вероятно, правильный ответ 40:
40 → 40 - 10 - 2 = 28 → 28 - 7 - 1 = 20 (в диапазоне 13-21).
Ответ: 40.
- Число яблок \( N \) удовлетворяет условиям:
\( N \equiv 1 \mod 5 \)
\( N \equiv 2 \mod 3 \)
\( N \equiv 0 \mod 4 \)
Решаем систему сравнений:
Из третьего условия: \( N = 4k \). Подставим в первое:
\( 4k \equiv 1 \mod 5 \) → \( k \equiv 4 \mod 5 \) → \( k = 5m + 4 \)
Тогда \( N = 4(5m + 4) = 20m + 16 \)
Подставим во второе условие:
\( 20m + 16 \equiv 2 \mod 3 \)
\( 20m \equiv -14 \mod 3 \) → \( 2m \equiv 1 \mod 3 \) → \( m \equiv 2 \mod 3 \) → \( m = 3n + 2 \)
Окончательно: \( N = 20(3n + 2) + 16 = 60n + 56 \)
При \( 600 \leq 60n + 56 \leq 800 \):
\( 544 \leq 60n \leq 744 \) → \( 9,\overline{06} \leq n \leq 12,4 \)
Целые решения: \( n = 10,11,12 \)
Соответствующие значения: 656, 716, 776. Проверим делимость на 4:
656 ÷ 4 = 164, 716 ÷ 4 = 179, 776 ÷ 4 = 194 — все подходят.
Ответ: 656, 716, 776.
- Пусть смешивают \( x \) частей 11% раствора и \( y \) частей 23% раствора. Уравнение:
\( 0.11x + 0.23y = 0.19(x + y) \)
\( 0.11x + 0.23y = 0.19x + 0.19y \)
\( 0.04y = 0.08x \) → \( y = 2x \)
Ответ: 1:2.
- Исходная сумма чисел: \( 1+2+3+4+5+6 = 21 \). При каждом ходе сумма увеличивается на 2. Через \( k \) ходов сумма станет \( 21 + 2k \). Если все числа равны, их сумма \( 6n \). Тогда:
\( 6n = 21 + 2k \)
Левая часть делится на 6, правая \( 21 + 2k \) при делении на 2 даёт остаток 1 (21 нечётное, 2k чётное). Но 6n делится на 2 без остатка. Противоречие.
Ответ: Нельзя.
- Для первого путника:
Общее время \( t = \frac{S/2}{4} + \frac{S/2}{5} = \frac{S}{8} + \frac{S}{10} = \frac{9S}{40} \)
Требуемая скорость: \( v = \frac{S}{t} = \frac{40}{9} \approx 4.\overline{4} \) км/ч
Для второго путника:
Пусть общее время \( t \). Пройденный путь: \( 4 \cdot \frac{t}{2} + 5 \cdot \frac{t}{2} = \frac{9t}{2} \)
Средняя скорость: \( v = \frac{9t/2}{t} = 4.5 \) км/ч
Ответ: Первый — \( \frac{40}{9} \) км/ч, второй — 4.5 км/ч.
Материалы школы Юайти