Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2020 год вариант 1-4

ШКОЛА № 2007

2020

1. Машина сначала ехала со скоростью 100 км/ч, потом вдвое больше времени со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость машины.
   
   
2. Если яблоки упаковывать по 4 в ящик, останется 3 лишних яблока, а если по 3 в ящик, то 2 лишних яблока. Сколько лишних яблок может остаться, если упаковывать яблоки по 12 в ящик?
   
   
3. В каких пропорциях надо смешать 6% и 11% растворы йода, чтобы получить 7% раствор?
   
   
4. У профессора есть ящик с белыми и черными мышами. Он достает мышей из ящика парами. Если он берет две мышки одного цвета, то он должен вернуть обратно в коробку черную мышь, а если две разные — то белую. В конце концов, в ящике осталась одна мышь. Какого она цвета?
   
   
5. Вася задумал целое число. Коля умножил его либо на 5, либо на 6. Женя прибавил к результату Коли либо 5, либо 6. Саша отнял от результата Жени либо 5, либо 6. В итоге получилось 73. Какое число задумал Вася? (Перечислите все возможные варианты.)
   
   
6. Человек путешествует от города А до города Б, двигаясь равномерно на каждом участке пути, но меняя скорость при переходе с участка на участок. Найти его среднюю скорость, если половину пути он шёл со скоростью 3 км/ч, остальную — ехал со скоростью 12 км/ч.
   
   
7. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки квадрата \(2 \times 2\). Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна чёрная клетка?
   
   
8. Миша написал на доске в некотором порядке 2004 буквы А и 2005 — Б. Время от времени он подходит к доске, стирает любые две буквы и пишет вместо них одну. Причём если он стёр одинаковые буквы, то вместо них он пишет А, а если разные — то Б. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?
   
   
9. Вася задумал целое число. Коля умножил его либо на 4, либо на 5. Женя прибавил к результату Коли либо 9, либо 11. Саша отнял от результата Жени либо 7, либо 8. В итоге получилось 75. Какое число задумал Вася? (Перечислите все возможные варианты.)
   
   
10. Если яблоки упаковывать по 4 в ящик, останется 1 лишнее яблоко, а если по 3 в ящик, то 2 лишних яблока. Сколько лишних яблок может остаться, если упаковывать яблоки по 12 в ящик?

Решения задач

1. Машина сначала ехала со скоростью 100 км/ч, потом вдвое больше времени со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость машины.
   Решение: Пусть первое время движения равно $t$ часов, тогда второе время — $2t$ часов. Пройденные расстояния:
   $S_1 = 100 \cdot t$ км, $S_2 = 40 \cdot 2t = 80t$ км.
   Общий путь: $100t + 80t = 180t$ км. Общее время: $t + 2t = 3t$ часов.
   Средняя скорость: $\frac{180t}{3t} = 60$ км/ч.
   Ответ: 60 км/ч.
   
   
2. Если яблоки упаковывать по 4 в ящик, останется 3 лишних яблока, а если по 3 в ящик, то 2 лишних яблока. Сколько лишних яблок может остаться, если упаковывать яблоки по 12 в ящик?
   Решение: Пусть $N$ — количество яблок. Тогда:
   $N \equiv 3 \pmod{4}$ и $N \equiv 2 \pmod{3}$.
   Перебором находим минимальное $N = 11$. Общее решение: $N = 12k + 11$.
   При делении на 12 остаток всегда равен 11.
   Ответ: 11 яблок.
   
   
3. В каких пропорциях надо смешать 6% и 11% растворы йода, чтобы получить 7% раствор?
   Решение: Пусть $x$ — масса 6% раствора, $y$ — масса 11% раствора. Уравнение:
   $\frac{0.06x + 0.11y}{x + y} = 0.07$.
   Упрощая: $6x + 11y = 7x + 7y \Rightarrow 4y = x$.
   Соотношение: $x : y = 4 : 1$.
   Ответ: 4 части 6% раствора и 1 часть 11% раствора.
   
   
4. У профессора есть ящик с белыми и черными мышами. Он достает мышей из ящика парами. Если он берет две мышки одного цвета, то он должен вернуть обратно в коробку черную мышь, а если две разные — то белую. В конце концов, в ящике осталась одна мышь. Какого она цвета?
   Решение: Чётность количества белых мышей сохраняется при всех операциях. Поскольку изначально количество белых мышей чётное или нечётное, последняя мышь будет белой, если начальное количество белых было нечётным. Однако в общем случае независимо от начального количества последняя мышь всегда белая из-за правил замены.
   Ответ: Белая.
   
   
5. Вася задумал целое число. Коля умножил его либо на 5, либо на 6. Женя прибавил к результату Коли либо 5, либо 6. Саша отнял от результата Жени либо 5, либо 6. В итоге получилось 73. Какое число задумал Вася? (Перечислите все возможные варианты.)
   Решение: Рассмотрим обратный ход:
   $73 + 5 = 78$ или $73 + 6 = 79$ (действие Саши).
   Для $78$: до Жени могло быть $78 - 5 = 73$ или $78 - 6 = 72$. Число $72$ делится на 6: $72 / 6 = 12$.
   Проверка: $12 \cdot 6 = 72$, Женя прибавил 6 ($72 + 6 = 78$), Саша отнял 5 ($78 - 5 = 73$).
   Ответ: 12.
   
   
6. Человек путешествует от города А до города Б, двигаясь равномерно на каждом участке пути, но меняя скорость при переходе с участка на участок. Найти его среднюю скорость, если половину пути он шёл со скоростью 3 км/ч, остальную — ехал со скоростью 12 км/ч.
   Решение: Средняя скорость вычисляется по формуле:
   $v_{ср} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 12}{3 + 12} = \frac{72}{15} = 4.8$ км/ч.
   Ответ: 4.8 км/ч.
   
   
7. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки квадрата \(2 \times 2\). Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна чёрная клетка?
   Решение: Каждая операция изменяет количество чёрных клеток на чётное число. Изначально их 32 (чётное). Получить 1 (нечётное) невозможно.
   Ответ: Нет.
   
   
8. Миша написал на доске в некотором порядке 2004 буквы А и 2005 — Б. Время от времени он подходит к доске, стирает любые две буквы и пишет вместо них одну. Причём если он стёр одинаковые буквы, то вместо них он пишет А, а если разные — то Б. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?
   Решение: Количество букв Б сохраняет нечётность. Изначально их 2005 (нечётное). Последняя буква — Б.
   Ответ: Б.
   
   
9. Вася задумал целое число. Коля умножил его либо на 4, либо на 5. Женя прибавил к результату Коли либо 9, либо 11. Саша отнял от результата Жени либо 7, либо 8. В итоге получилось 75. Какое число задумал Вася? (Перечислите все возможные варианты.)
   Решение: Обратный ход:
   $75 + 8 = 83$ (действие Саши). До Жени: $83 - 11 = 72$.
   Число $72$ делится на 4: $72 / 4 = 18$.
   Проверка: $18 \cdot 4 = 72$, Женя прибавил 11 ($72 + 11 = 83$), Саша отнял 8 ($83 - 8 = 75$).
   Ответ: 18.
   
   
10. Если яблоки упаковывать по 4 в ящик, останется 1 лишнее яблоко, а если по 3 в ящик, то 2 лишних яблока. Сколько лишних яблок может остаться, если упаковывать яблоки по 12 в ящик?
    Решение: Пусть $N$ — количество яблок. Тогда:
    $N \equiv 1 \pmod{4}$ и $N \equiv 2 \pmod{3}$.
    Общее решение: $N = 12k + 5$. Остаток при делении на 12 равен 5.
    Ответ: 5 яблок.