8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2020 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 06.2020
Печать
youit.school ©

ШКОЛА № 2007


2020


06.06.2020



  1. У всех девочек 5Е класса поровну пятёрок, а у всех мальчиков 5Е поровну двоек. Если одна девочка даст по одной своей пятёрке каждому мальчику, то пятёрок у неё не останется. Если один мальчик даст по две свои двойки каждой девочке, то двоек у него не останется. Всего в 5Е 429 оценок «2» и «5». Сколько в классе учеников, если в классе у каждой девочки есть подружка, а у каждого мальчика есть друг?

  2. На доске написана буква. Каждую минуту Вася проделывает следующее: если на доске была написана гласная, то Вася её стирает и записывает вместо неё ближайшую следующую по алфавиту согласную. А если на доске была написана согласная — то гласную. Через 6 минут на доске оказалась буква «Ф». Какая буква была написана сначала?

  3. Математизатор иногда просыпается и съедает всех, кто решает эту задачу. Затем он сразу засыпает на столько лет, какова сумма цифр года, в который он проснулся. Его замечали в 324 году, докажите, что нам сейчас ничего не угрожает.

  4. Есть два натуральных, разность которых равна 60, а НОК равно 360. Найти все такие пары. Обосновать, почему нет других.

  5. Один путник шёл первые полпути со скоростью 3 км/ч, а вторые полпути со скоростью 7 км/ч. Другой путник шёл первую половину времени со скоростью 3 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 7 км/ч. С какой постоянной скоростью должен был бы идти каждый из них, чтобы затратить на своё путешествие то же самое время?

  6. На весах стоят четверо. Если Петин вес удвоить, общий вес возрастает на $7\%$, если вместо этого Васин вес удвоить — на $14\%$, если же удвоить вес Толи — на $22\%$. На сколько процентов возрастает общий вес, если удвоить вес Миши? Каждый раз удваивают вес ровно одного.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Пусть в классе $D$ девочек и $M$ мальчиков. По условию:
    • У каждой девочки $M$ пятёрок (после раздачи по 1 мальчику)
    • У каждого мальчика $2D$ двоек (после раздачи по 2 девочкам)
    • Общее количество оценок: $D \cdot M + M \cdot 2D = 3DM = 429 \Rightarrow DM = 143$
    Разложим 143 на множители: $143 = 11 \cdot 13$. Учитывая условия о друзьях и подружках (минимум 2 человека каждого пола), получаем $D = 11$, $M = 13$. Общее количество учеников: $11 + 13 = 24$.
    Ответ: 24.

  2. Построим обратную цепочку преобразований:
    • Через 6 минут: Ф (согласная) $\leftarrow$ на 5-й минуте была гласная У (ближайшая следующая согласная после У — Ф)
    • Через 5 минут: У (гласная) $\leftarrow$ на 4-й минуте согласная Т (ближайшая предыдущая согласная перед У)
    • Через 4 минут: Т (согласная) $\leftarrow$ на 3-й минуте гласная Ы (ближайшая следующая согласная после Ы — Т)
    • Через 3 минут: Ы (гласная) $\leftarrow$ на 2-й минуте согласная Ь (ближайшая предыдущая согласная перед Ы)
    • Через 2 минут: Ь (согласная) $\leftarrow$ на 1-й минуте гласная Э (ближайшая следующая согласная после Э — Ь)
    • Через 1 минут: Э (гласная) $\leftarrow$ начальная буква Ъ (ближайшая предыдущая согласная перед Э)
    Проверка прямой цепочки: Ъ $\to$ Э $\to$ Ь $\to$ Ы $\to$ Т $\to$ У $\to$ Ф.
    Ответ: Ъ.

  3. Математизатор проснулся в 324 году и заснул на $3+2+4=9$ лет. Каждое пробуждение добавляет сумму цифр нового года:
    • 324 + 9 = 333 (сумма цифр 9)
    • 333 + 9 = 342 (сумма цифр 9)
    • Цикл повторяется до 351, 360, ..., все даты пробуждения меньше 2023
    Ответ: Математизатор продолжает спать.

  4. Пусть числа $a > b$, $a - b = 60$, $\text{НОК}(a,b) = 360$. Обозначим $d = \text{НОД}(a,b)$, тогда: \begin{align} a &= d \cdot m \\ b &= d \cdot n \\ d(m - n) &= 60 \\ d \cdot m \cdot n &= 360 \end{align} Решая систему, находим $d = 60$, $m = 3$, $n = 2$. Единственная пара: $a = 180$, $b = 120$.
    Ответ: (180, 120).

  5. Для первого путника: \begin{align} t_1 &= \frac{S/2}{3} + \frac{S/2}{7} = \frac{5S}{21} \\ V_{\text{ср1}} &= \frac{S}{t_1} = \frac{21}{5} = 4.2 \text{ км/ч} \end{align} Для второго путника: \begin{align} S &= 3 \cdot \frac{t_2}{2} + 7 \cdot \frac{t_2}{2} = 5t_2 \\ V_{\text{ср2}} &= \frac{S}{t_2} = 5 \text{ км/ч} \end{align} Ответ: 4.2 км/ч и 5 км/ч.

  6. Обозначим исходный вес $W$. Из условий: \begin{align} П &= 0.07W \\ В &= 0.14W \\ Т &= 0.22W \\ М &= W - П - В - Т = 0.57W \end{align} При удвоении Миши: новый вес $W + 0.57W = 1.57W$. Увеличение на 57\%.
    Ответ: 57\%.
Материалы школы Юайти