Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2020 год

1. Вычислите, записав все промежуточные вычисления: \[ \frac{\bigl(5\tfrac{1}{6}-3\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{2}\bigr)\,\cdot\,\tfrac{10}{23}} {1\tfrac{11}{16} : 2\tfrac{1}{4}}. \]
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(4(x+1)-3(3x-4)=11;\)
   2. \(\displaystyle\bigl(3x-\tfrac{1}{4}\bigr)\,\cdot\,\bigl(\tfrac{5}{7}x+1,2\bigr)=0;\)
   3. \(8,37 : x = 6,75 : 1,3.\)
   
   
   
3. Рюкзак Васи весит 12 кг. Вес учебников составляет 72% веса рюкзака. А тетради – \(\tfrac{2}{3}\) оставшегося веса. Пенал весит столько же, сколько и пустой рюкзак. Сколько весят учебники? Сколько весят тетради? Сколько весит пенал? Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
4. Между домами Алика и Бори 18 км. Мальчики одновременно выбежали навстречу друг другу. Алик бежал со скоростью 7 км/ч, а Боря – со скоростью 2 км/ч. Через 20 минут после их старта выбежала собака одного из мальчиков и побежала за хозяином со скоростью 40 м/мин. Известно, что собака и мальчики встретились одновременно. Кому из мальчиков принадлежит собака? Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
5. Масса куска сплава Вибраниума и Адамантия составляет 1440 граммов. Масса Адамантия в сплаве в 5 раз больше, чем масса Вибраниума. Сколько граммов Адамантия нужно добавить, чтобы Вибраниум составлял 15% от нового сплава? Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
6. Три мальчика собирали грибы. Вес грибов, собранных Антоном и Борей, относится как 5,4 : 3,6. А Ваня собрал \(\tfrac{2}{5}\) того веса, что собрал Антон. Сколько килограммов грибов собрал каждый из мальчиков, если Боря собрал на 1,6 кг больше, чем Ваня? Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
7. В числе \(3151*26*\) две цифры заменили на звёздочки. Найдите исходное число, если известно, что оно делится на 36. Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет. Каждый шаг решения должен быть обоснован.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{\left(5\tfrac{1}{6}-3\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{2}\right)\,\cdot\,\tfrac{10}{23}}{1\tfrac{11}{16} : 2\tfrac{1}{4}} \]
   Решение: \[ \text{Числитель: }5\tfrac{1}{6} - 3\tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{2} = \frac{31}{6} - \frac{15}{4} + \frac{1}{2} = \frac{62 - 45 + 6}{12} = \frac{23}{12} \] \[ \frac{23}{12} \cdot \frac{10}{23} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \] \[ \text{Знаменатель: }1\tfrac{11}{16} : 2\tfrac{1}{4} = \frac{27}{16} \cdot \frac{4}{9} = \frac{3}{4} \] \[ \frac{\frac{5}{6}}{\frac{3}{4}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{3} = \frac{10}{9} = 1\tfrac{1}{9} \]
   Ответ: \(1\tfrac{1}{9}\).
   
   
   1. Решите уравнение: \(4(x+1)-3(3x-4)=11\)
      Решение: \[ 4x +4 -9x +12 = 11 \Rightarrow -5x +16 = 11 \Rightarrow x = 1 \]
      Ответ: \(1\).
      
      
   2. Решите уравнение: \(\left(3x-\tfrac{1}{4}\right)\,\cdot\,\left(\tfrac{5}{7}x+1,2\right)=0\)
      Решение: \[ 3x - \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{12} \] \[ \frac{5}{7}x + 1,2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{42}{25} = -1,68 \]
      Ответ: \(\frac{1}{12}\) и \(-1,68\).
      
      
   3. Решите уравнение: \(8,37 : x = 6,75 : 1,3\)
      Решение: \[ x = \frac{8,37 \cdot 1,3}{6,75} = \frac{10,881}{6,75} = 1,612 \]
      Ответ: \(1,612\).
   
   
   
2. Вес учебников: \[ 12 \cdot 0,72 = 8,64\,\text{кг} \] Вес тетрадей: \[ (12 - 8,64) \cdot \tfrac{2}{3} = 3,36 \cdot \tfrac{2}{3} = 2,24\,\text{кг} \] Вес пенала и пустого рюкзака: \[ \text{Оставшийся вес: }3,36 - 2,24 = 1,12\,\text{кг} \\ \text{Пустой рюкзак} = \text{Пенал}, \Rightarrow пенал = \frac{1,12}{2} = 0,56\,\text{кг} \]
   Ответ: учебники — 8,64 кг, тетради — 2,24 кг, пенал — 0,56 кг.
   
   
3. Время встречи мальчиков: \[ \frac{18}{7 + 2} = 2\,\text{ч} \] Расстояние после 20 минут: \[ 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 \cdot \tfrac{1}{3} = 3\,\text{км} \Rightarrow \text{осталось: }15\,\text{км} \] Собака бежала: \[ 100\,\text{мин} \cdot 0,04\,\text{км/мин} = 4\,\text{км} \] Собака, принадлежащая Боре, пробежала расстояние, превышающее его путь, что подтверждает принадлежность.
   Ответ: собака принадлежит Боре.
   
   
4. Масса Вибраниума: \[ V = \frac{1440}{6} = 240\,\text{г} \] Необходимый объем сплава: \[ \frac{240}{0,15} = 1600\,\text{г} \Rightarrow \text{добавить: }1600 - 1440 = 160\,\text{г Адамантия} \]
   Ответ: 160 г.
   
   
5. Соотношение грибов Антона и Бори: \(5,4 : 3,6 = 3 : 2\). Пусть Антон собрал \(3x\), Боря — \(2x\). \[ \text{Ваня: }\frac{2}{5} \cdot 3x = 1,2x \Rightarrow 2x - 1,2x = 1,6 \Rightarrow x = 2 \]
   Ответ: Антон — 6 кг, Боря — 4 кг, Ваня — 2,4 кг.
   
   
6. Число делится на 36, если сумма цифр кратна 9, а последние две цифры кратны 4. Возможные варианты: \[ 3151\boldsymbol{52}6\boldsymbol{4},\quad 3151\boldsymbol{72}6\boldsymbol{8} \] Проверка суммы для \(31515264\): \[ 3+1+5+1+5+2+6+4 = 27 \Rightarrow \text{кратно 9} \] Проверка крастности 4: \(64 : 4 = 16\).
   Ответ: 31515264 и 31517268.