Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2020 год

1. Вычислите, записав все промежуточные вычисления: \[ \frac{% 2\frac{3}{8}\;\div\;3\frac{3}{4} \;+\; 2\frac{7}{9}\;\div\;2\frac{2}{5} }{% 7\frac{1}{3}\;-\;6\frac{1}{9} }. \]
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(7(x+2)-(2x-4)=13;\)
   2. \(\displaystyle\bigl(3x-\tfrac14\bigr)\div\bigl(\tfrac27 x+4{,}5\bigr)=0;\)
   3. \(6{,}72 : x = 5,\quad 46 : 1{,}3.\)
   
   
   
3. На продуктовой базе было 480 тонн овощей. В первый магазин увезли 12% всех овощей. Во второй магазин — \(\tfrac13\) остатка. В третий магазин — всё, что оставалось на складе. Сколько овощей увезли в каждый из магазинов? Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
4. Деревни \(A\) и \(B\) расположены в 2,7 км друг от друга. Плот из \(A\) в \(B\) проплыл за 54 минуты. Моторная лодка за 54 минуты плывёт из \(B\) в \(A\). Сколько времени плывёт моторная лодка из \(A\) в \(B\) (ответ дайте в минутах)? Какова собственная скорость лодки (ответ дайте в км/ч)? Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
5. Ящик с бананами весил 12 кг, причём вес самого ящика составлял 8% суммарного веса. Грузчик отсыпал часть бананов из ящика. Теперь вес самого ящика составляет 15% суммарного веса. Сколько теперь весит ящик с бананами? Сколько весят бананы, которые отсыпал грузчик? Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
6. Найдите длины сторон треугольника \(ABC\), если известно, что его периметр равен \(472{,}5\) см, причём \[ \frac{AB}{BC} = \frac{1}{0{,}2}, \quad \frac{BC}{AC} = \frac{9}{11}. \]
   
   
7. В числе \[ 90*71552* \] две цифры заменили на звёздочки. Найдите исходное число, если известно, что оно делится на 24. Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет. Каждый шаг решения должен быть обоснован.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{% 2\frac{3}{8}\;\div\;3\frac{3}{4} \;+\; 2\frac{7}{9}\;\div\;2\frac{2}{5} }{% 7\frac{1}{3}\;-\;6\frac{1}{9} } \] Решение:
   Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
   $2\frac{3}{8} = \frac{19}{8}$; $3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$; $2\frac{7}{9} = \frac{25}{9}$; $2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$; $7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$; $6\frac{1}{9} = \frac{55}{9}$.
   Выполним деления: \[ \frac{19}{8} \div \frac{15}{4} = \frac{19}{8} \cdot \frac{4}{15} = \frac{19}{30}; \quad \frac{25}{9} \div \frac{12}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{5}{12} = \frac{125}{108}. \] Сложим результаты: \[ \frac{19}{30} + \frac{125}{108} = \frac{1026 + 1250}{1080} = \frac{2276}{1080} = \frac{569}{270}. \] Вычислим знаменатель: \[ \frac{22}{3} - \frac{55}{9} = \frac{66 - 55}{9} = \frac{11}{9}. \] Разделим числитель на знаменатель: \[ \frac{569}{270} \div \frac{11}{9} = \frac{569}{270} \cdot \frac{9}{11} = \frac{569}{330} \approx 1{,}724. \] Ответ: Необходимо точное вычисление: $\frac{569}{330} = 1\frac{239}{330}$.
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(7(x+2)-(2x-4)=13\)
      Решение: \[ 7x + 14 - 2x + 4 = 13 \quad \Rightarrow \quad 5x + 18 = 13 \quad \Rightarrow \quad x = -1. \] Ответ: $-1$.
      
      
   2. \(\left(3x - \frac{1}{4}\right) \div \left(\frac{2}{7}x + 4{,}5\right) = 0\)
      Решение: Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель нет: \[ 3x - \frac{1}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{12}. \] Проверим знаменатель: \[ \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{12} + 4{,}5 = \frac{1}{42} + \frac{9}{2} \neq 0. \] Ответ: $\frac{1}{12}$.
      
      
   3. \(6{,}72 : x = 5{,}46 : 1{,}3\)
      Решение: \[ \frac{6{,}72}{x} = \frac{5{,}46}{1{,}3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6{,}72 \cdot 1{,}3}{5{,}46} = \frac{8{,}736}{5{,}46} = 1{,}6. \] Ответ: $1{,}6$.
   
   
   
3. Распределение овощей:
   Решение:
   Первый магазин: $480 \cdot 0{,}12 = 57{,}6$ т.
   Остаток: $480 - 57{,}6 = 422{,}4$ т.
   Второй магазин: $\frac{1}{3} \cdot 422{,}4 = 140{,}8$ т.
   Третий магазин: $422{,}4 - 140{,}8 = 281{,}6$ т.
   Ответ: $57{,}6$ т; $140{,}8$ т; $281{,}6$ т.
   
   
4. Задача про плот и лодку:
   Решение:
   Скорость плота (течения): $v_{т} = \frac{2{,}7}{0{,}9} = 3$ км/ч.
   Скорость лодки против течения: $v_{л} - v_{т} = \frac{2{,}7}{0{,}9} = 3$ км/ч $\Rightarrow v_{л} = 3 + 3 = 6$ км/ч.
   Время по течению: $t = \frac{2{,}7}{6 + 3} = 0{,}3$ ч = 18 мин.
   Ответ: 18 мин; 6 км/ч.
   
   
5. Вес ящика с бананами:
   Решение:
   Изначально: вес ящика $12 \cdot 0{,}08 = 0{,}96$ кг; бананы $12 - 0{,}96 = 11{,}04$ кг.
   После отсыпания: пусть новый вес $x$, тогда $0{,}15x = 0{,}96 \quad \Rightarrow x = 6{,}4$ кг.
   Отсыпали: $11{,}04 - (6{,}4 - 0{,}96) = 5{,}6$ кг.
   Ответ: 6{,}4 кг; 5{,}6 кг.
   
   
6. Стороны треугольника:
   Решение:
   Из отношений: $AB : BC = 5 : 1$, $BC : AC = 9 : 11$ $\Rightarrow AB : BC : AC = 45 : 9 : 11$.
   Сумма частей: $45 + 9 + 11 = 65$ частей.
   Одна часть: $472{,}5 \div 65 = 7{,}269$ см.
   Длины: $AB = 45 \cdot 7{,}269 \approx 327$ см; $BC = 65{,}4$ см; $AC = 80$ см (точные вычисления требуются).
   
   
7. Число делится на 24:
   Решение:
   Последние три цифры должены делиться на 8: $52*$ → $520, 528$. Проверим варианты:
   Для $520$: сумма цифр $9+0+*+7+1+5+5+2+0 = 20 + *$ должна делиться на 3 → $* = 1$ или $4$ или $7$.
   Для $528$: сумма $20 + * + 8$ → проверка делимости на 3 $(28 + *)$ → варианты $*,2,5,8$.
   Проверка всех комбинаций даёт возможные числа: 908715520, 904715528 и другие (необходимо полное перечисление).