Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2019 год

1. У всех девочек 5Ё класса поровну пятерок, а у всех мальчиков 5Ё поровну двоек. Если одна девочка даст по одной своей пятерке каждому мальчику, то пятерок у нее не останется. Если один мальчик даст по две свои двойки каждой девочке, то двоек у него не останется. Всего в 5Ё 429 оценок «2» и «5». Сколько в классе учеников, если в классе у каждой девочки есть подружка, а у каждого мальчика есть друг?
   
   
2. На доске написана буква. Каждую минуту Вася проделывает следующее: если на доске была написана гласная, то Вася ее стирает и записывает вместо нее ближайшую по алфавиту согласную. А если на доске была написана согласная — то гласную. Через 6 минут на доске оказался буква «Ф». Какая буква была написана сначала?
   
   
3. Математизатор иногда просыпается и съедает всех, кто решает эту задачу. Затем он сразу засыпает на столько лет, какова сумма цифр года, в который он проснулся. Его замечали в 324 году, докажите, что нам сейчас ничего не угрожает.
   
   
4. Есть два натуральных числа, разность которых равна 60, а НОК равно 360. Найти все такие пары. Обосновать, почему нет других.
   
   
5. Один путник шёл первые половину со скоростью 3 км/ч, а вторые половину — со скоростью 7 км/ч. Другой путник шёл первую половину времени со скоростью 3 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 7 км/ч. С какой постоянной скоростью должен был бы идти каждый из них, чтобы затратить на все путешествие то же самое время?
   
   
6. На весах стоят четверо. Если Петин вес удвоить, общий вес возрастёт на 7%, если вместо этого Васин вес удвоить — на 14%, если же удвоить вес Толи — на 22%. На сколько процентов возрастёт общий вес, если удвоить вес Миши? Каждый раз удваивают вес ровно одному.

Решения задач

1. Пусть количество девочек — \(D\), мальчиков — \(M\).
   • Каждая девочка имеет \(M\) пятерок, все девочки вместе: \(D \cdot M.\)
   • Каждый мальчик имеет \(2D\) двоек, все мальчики вместе: \(M \cdot 2D.\)
   • Общее количество оценок: \(D \cdot M + M \cdot 2D = 3D \cdot M = 429\).
   • Отношение сумм: \(\frac{M}{2D} = \frac{32}{27} \Rightarrow M:D = 13:11.\)
   Решаем уравнение \(3D \cdot M = 429\) при \(D=11\), \(M=13\).
   Всего учеников: \(11 + 13 = 24.\)
   Ответ: $\boxed{24}.$
   
   
2. Рассмотреть последовательность замен букв:
   • Предпоследний шаг (5 минут): согласная перед «Ф» — бува «Э» (гласная).
   • Следующие шаги обратно: Э ← согласная «Ф», доходим до начальной буквы «Ф» через цикл чередования.
   Ответ: $\boxed{Ф}.$
   
   
3. Математизатор просыпается в годах: \(324 + 9n\), сумма цифр каждого года равна 9. Текущий год \(2023 < 324 + 9n\) при \(n \ge 189\), что позже текущего года.
   Ответ: Угрозы нет.
   
   
4. Даны числа \(a\) и \(b\), \(a - b = 60\), НОК\(a, b = 360\):
   • НОД\((a, b) = d\), тогда \(a = d \cdot m\), \(b = d \cdot n\), \(m > n\) и взаимно простые.
   • Решаем \(d(m - n) = 60\), \(dmn = 360\): \(d = 60\), \(m - n = 1\), \(m \cdot n = 6\) \(\Rightarrow\) \(m=3\), \(n=2\).
   • Числа: \(a = 180\), \(b = 120\).
   Ответ: $\boxed{180}$ и $\boxed{120}.$
   
   
5. Для первого путника: \[ V_{ср} = \frac{21}{5} = 4,2 \; \text{км/ч}. \] Для второго путника: \[ V_{ср} = 5 \; \text{км/ч}. \] Ответ: $\boxed{4{,}2} км/ч$, $\boxed{5} км/ч.$
   
   
6. Веса Пети (\(П=7\%\)), Васи (\(В=14\%\)), Толи (\(Т=22\%\)). Вес Миши: \[ М = 100\ (7 + 14 + 22)% = 57\%. \] Удвоение Миши даёт увеличение на \(57\%\).
   Ответ: $\boxed{57\%}.$