Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2017 год вариант 1-1

ШКОЛА № 2007

2017 год

1. Найдите значение выражения:
   1. \( \dfrac{1}{8} \cdot \left( \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{7} \right) : \dfrac{1{,}32}{\dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{5}} \);
   2. \( \left( \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{6}{6} - \dfrac{3}{7} \right) \cdot \left( \dfrac{5}{3} + \dfrac{4}{5} \right) \).
   
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \( 9 = (7 - (x - 9)) + 13 \);
   2. \( 0{,}5 (10x + 115) = 7(4x + \dfrac{5}{14}) \);
   3. \( \dfrac{5}{12} \cdot \left( \dfrac{14}{13} + x \right) = 0{,}5 \cdot \left( \dfrac{8}{14} - x \right) \);
   4. \( \dfrac{1{,}6}{0{,}24} : x = 2{,}3 \);
   5. \( x : 1{,}7 - 0{,}25 = 12{,}5 \);
   6. \( x - 12 = 25 \).
   
   
   
3. Петя, Вася и Коля купили 700 грамм ирисок. Петя съел \( \dfrac{1}{7} \) всех ирисок, Вася съел половину от 60% оставшихся после Пети, а Коля доел всё, что осталось. Сколько ирисок съел каждый ребёнок?
   
   
4. Летела стая гусей. На первом озере села \( \dfrac{1}{8} \) всех гусей, на втором — \( \dfrac{1}{6} \), на третьем — \( \dfrac{1}{9} \), а на четвёртом — \( \dfrac{1}{4} \). Остальным не хватило места. Сколько гусей полетело дальше, если всего их было не более 80?
   
   
5. В двух бочках было поровну воды. В первой бочке количество воды сначала уменьшилось на $20\%$, а потом увеличилось на $50\%$. Во второй — сначала уменьшилось на $40\%$, а затем увеличилось на $90\%$. В какой бочке стало больше воды?
   
   
6. Замените в числе 31*823* звёздочки на цифры так, чтобы оно делилось на 36. Найдите все ответы.

Решения задач

1. 1. Вычислить: \( \dfrac{1}{8} \cdot \left( \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{7} \right) : \dfrac{1{,}32}{\dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{5}} \)
      Решение:
      \( \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{7} = \dfrac{21 - 5}{35} = \dfrac{16}{35} \)
      \( \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{16}{35} = \dfrac{2}{35} \)
      \( \dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{3} \cdot 5 = \dfrac{10}{3} \)
      \( \dfrac{1{,}32}{\dfrac{10}{3}} = 1{,}32 \cdot \dfrac{3}{10} = 0{,}396 \)
      \( \dfrac{2}{35} : 0{,}396 = \dfrac{2}{35} \cdot \dfrac{250}{99} = \dfrac{100}{693} \)
      Ответ: \( \dfrac{100}{693} \).
      
      
   2. Вычислить: \( \left( \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{6}{6} - \dfrac{3}{7} \right) \cdot \left( \dfrac{5}{3} + \dfrac{4}{5} \right) \)
      Решение:
      \( \dfrac{2}{7} - \dfrac{3}{7} = -\dfrac{1}{7} \)
      \( \dfrac{5}{3} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{25 + 12}{15} = \dfrac{37}{15} \)
      \( -\dfrac{1}{7} \cdot \dfrac{37}{15} = -\dfrac{37}{105} \)
      Ответ: \( -\dfrac{37}{105} \).
   
   
   
2. 1. Решить уравнение: \( 9 = (7 - (x - 9)) + 13 \)
      Решение:
      \( 9 = 7 - x + 9 + 13 \)
      \( 9 = 29 - x \)
      \( x = 29 - 9 = 20 \)
      Ответ: 20.
      
      
   2. Решить уравнение: \( 0{,}5 (10x + 115) = 7(4x + \dfrac{5}{14}) \)
      Решение:
      \( 5x + 57{,}5 = 28x + 2{,}5 \)
      \( 57{,}5 - 2{,}5 = 28x - 5x \)
      \( 55 = 23x \)
      \( x = \dfrac{55}{23} \)
      Ответ: \( \dfrac{55}{23} \).
      
      
   3. Решить уравнение: \( \dfrac{5}{12} \cdot \left( \dfrac{14}{13} + x \right) = 0{,}5 \cdot \left( \dfrac{8}{14} - x \right) \)
      Решение:
      Умножим обе части на 12 \cdot 14 \cdot 13:
      \( 5 \cdot 7 \cdot (14 + 13x) = 6 \cdot 13 \cdot (4 - 7x) \)
      \( 490 + 455x = 312 - 546x \)
      \( 1001x = -178 \)
      \( x = -\dfrac{178}{1001} \)
      Ответ: \( -\dfrac{178}{1001} \).
      
      
   4. Решить уравнение: \( \dfrac{1{,}6}{0{,}24} : x = 2{,}3 \)
      Решение:
      \( \dfrac{1{,}6}{0{,}24} = \dfrac{20}{3} \)
      \( \dfrac{20}{3} : x = 2{,}3 \)
      \( x = \dfrac{20}{3} \cdot \dfrac{10}{23} = \dfrac{200}{69} \)
      Ответ: \( \dfrac{200}{69} \).
      
      
   5. Решить уравнение: \( x : 1{,}7 - 0{,}25 = 12{,}5 \)
      Решение:
      \( x : 1{,}7 = 12{,}75 \)
      \( x = 12{,}75 \cdot 1{,}7 = 21{,}675 \)
      Ответ: 21,675.
      
      
   6. Решить уравнение: \( x - 12 = 25 \)
      Решение:
      \( x = 25 + 12 = 37 \)
      Ответ: 37.
   
   
   
3. Петя, Вася и Коля купили 700 грамм ирисок.
   Решение:
   Петя съел \( \dfrac{1}{7} \cdot 700 = 100 \) г.
   Осталось \( 700 - 100 = 600 \) г.
   Вася съел \( 0{,}6 \cdot 600 \cdot 0{,}5 = 180 \) г.
   Коля съел \( 600 - 180 = 420 \) г.
   Ответ: Петя — 100 г, Вася — 180 г, Коля — 420 г.
   
   
4. Летела стая гусей.
   Решение:
   Общее количество гусей \( N \leq 80 \).
   Сумма долей: \( \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{47}{72} \).
   Осталось \( N \cdot \dfrac{25}{72} \). \( N = 72 \).
   Ответ: 25 гусей.
   
   
5. В двух бочках было поровну воды.
   Решение:
   Первая бочка: \( V \cdot 0{,}8 \cdot 1{,}5 = 1{,}2V \).
   Вторая бочка: \( V \cdot 0{,}6 \cdot 1{,}9 = 1{,}14V \).
   Ответ: В первой бочке больше.
   
   
6. Замените в числе 31*823* звёздочки на цифры.
   Решение:
   Условие делимости на 4: 3* → * = 2 или 6.
   Условие делимости на 9: сумма цифр \( 17 + a + b \).
   Для * = 2: \( a = 8 \), число 3188232.
   Для * = 6: \( a = 4 \), число 3148236.
   Ответ: 3188232 и 3148236.