Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2017 год

1. Женя купила конфеты. Сначала она съела $\tfrac{1}{4}$ всех конфет и ещё 2 конфеты, потом — $\tfrac{1}{4}$ остатка и ещё 1 конфету. Сколько конфет было у Жени сначала, если у неё осталось не менее 13 и не более 21 конфеты?
   
   
2. Вася упаковывает яблоки. Если он кладёт по 5 штук в коробку, то остаётся 1 яблоко, если по 3 штуки — то 2 яблока, а если по 4 штуки в коробку — то остатка не остаётся. Какое количество яблок могло быть у Васи, если у него было не менее 600 и не более 800 штук?
   
   
3. В каких пропорциях нужно смешать 11‑процентный и 23‑процентный растворы йода, чтобы получить 19‑процентный раствор?
   
   
4. На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается прибавить к любым двум числам по 1. Можно ли за несколько ходов сравнять эти числа?
   
   
5. Один путник прошёл первую половину пути со скоростью 4 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 5 км/ч. Другой шёл половину времени своего путешествия со скоростью 4 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 5 км/ч. С какой постоянной скоростью должен идти каждый из них, чтобы пройти этот путь за то же самое время?

Решения задач

1. Женя купила конфеты. Сначала она съела $\tfrac{1}{4}$ всех конфет и ещё 2 конфеты, потом — $\tfrac{1}{4}$ остатка и ещё 1 конфету. Сколько конфет было у Жени сначала, если у неё осталось не менее 13 и не более 21 конфеты?
   Решение: Пусть изначально было $x$ конфет. После первого этапа осталось:
   $x - (\frac{x}{4} + 2) = \frac{3x}{4} - 2$ конфет.
   После второго этапа осталось:
   $(\frac{3x}{4} - 2) - (\frac{1}{4}(\frac{3x}{4} - 2) + 1) = \frac{9x}{16} - \frac{5}{2}$.
   По условию: $13 \leq \frac{9x}{16} - \frac{5}{2} \leq 21$.
   Решая неравенства:
   $13 + 2,5 \leq \frac{9x}{16} \leq 21 + 2,5$
   $15,5 \leq \frac{9x}{16} \leq 23,5$
   Умножаем на $\frac{16}{9}$:
   $\frac{248}{9} \approx 27,55 \leq x \leq \frac{376}{9} \approx 41,78$.
   Проверяя целые значения, находим $x = 40$.
   Проверка:
   1) Остаток после первого съедания: $\frac{3 \cdot 40}{4} - 2 = 28$
   2) Остаток после второго: $28 - (\frac{28}{4} + 1) = 20$.
   Ответ: 40.
   
   
2. Вася упаковывает яблоки. Какое количество яблок могло быть у Васи, если у него было не менее 600 и не более 800 штук?
   Решение: Условия задач:
   $\begin{cases} n \equiv 1 \pmod{5} \\ n \equiv 2 \pmod{3} \\ n \equiv 0 \pmod{4} \end{cases}$
   Общий вид числа: $n = 20k + 16$. Подставляем в третье условие:
   $20k + 16 \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow 2k + 1 \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow k \equiv 2 \pmod{3}$.
   Значит $k = 3m + 2$, тогда:
   $n = 20(3m + 2) + 16 = 60m + 56$.
   При $m = 10$: $n = 656$
   При $m = 11$: $n = 716$
   При $m = 12$: $n = 776$.
   Ответ: 656, 716, 776.
   
   
3. В каких пропорциях нужно смешать 11\%- и 23\%-растворы йода, чтобы получить 19\%-раствор?
   Решение: Пусть $x$ кг 11% раствора и $y$ кг 23% раствора.
   Уравнение концентрации:
   $\frac{0,11x + 0,23y}{x + y} = 0,19$.
   Упрощаем:
   $0,11x + 0,23y = 0,19x + 0,19y$
   $0,04y = 0,08x$
   $y = 2x$.
   Ответ: 1:2.
   
   
4. Можно ли за несколько ходов сравнять числа 1, 2, 3, 4, 5, 6?
   Решение: Изначальная сумма чисел: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. Каждый ход добавляет 2 к сумме.
   Чтобы сравнять числа, их сумма должна делиться на 6. Проверяем делимость:
   $21 + 2k \equiv 0 \pmod{6} \Rightarrow 3 + 2k \equiv 0 \pmod{6} \Rightarrow 2k \equiv 3 \pmod{6}$.
   Нет целых решений, так как 2 и 6 взаимно просты с коэффициентом 2.
   Ответ: Невозможно.
   
   
5. С какой постоянной скоростью должен идти каждый из них?
   Решение:
   • Для первого путника: средняя скорость $V_1 = \frac{2}{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}} = \frac{40}{9} \approx 4,44$ км/ч.
   • Для второго путника: средняя скорость $V_2 = \frac{4 + 5}{2} = 4,5$ км/ч.
   Ответ: Первый — $\frac{40}{9}$ км/ч, второй — 4,5 км/ч.