Школа № 2007 ФМШ из 6 в 7 класс 2017 год

1. Задумали число. Его умножили или на 5, или на 6. Затем к результату прибавили 5, или 6. Потом вычли или 5, или 6. В результате получилось 73. Какое число задумали? (Найти все варианты.)
2. Когда яйца раскладывали десятками, не хватило двух штук. Тогда решили раскладывать их дюжинами – и осталось 8 штук. Сколько яиц было, если их больше 420 и меньше 725?
3. В каких пропорциях нужно смешать 7‑процентный и 19‑процентный растворы йода, чтобы получить 16‑процентный раствор?
4. Петя и Вася рвали стенгазету. Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася – на 9 частей. Когда их заставили подбирать обрывки, они нашли 2007 кусков. Все ли куски они нашли?
5. Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 350 м от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 420 м от другого берега. Какова ширина реки?

Решения задач

1. Задумали число. Его умножили или на 5, или на 6. Затем к результату прибавили 5, или 6. Потом вычли или 5, или 6. В результате получилось 73. Какое число задумали? (Найти все варианты.)
   Решение: Рассмотрим все возможные комбинации операций:
   
   • Умножение на 5: \begin{align} 5x + 5 - 5 &= 5x = 73 \Rightarrow x = 14,6 \text{ — не целое} \\ 5x + 5 - 6 &= 5x -1 =73 \Rightarrow x = 14,8 \text{ — не целое} \\ 5x +6 -5 &=5x +1=73 \Rightarrow x =14,4 \text{ — не целое} \\ 5x +6 -6 &=5x=73 \Rightarrow x =14,6 \text{ — не целое} \end{align}
   • Умножение на 6: \begin{align} 6x +5 -5 &=6x =73 \Rightarrow x \approx12,166 \text{ — не целое} \\ 6x +5 -6 &=6x -1 =73 \Rightarrow x =12,333… \text{ — не целое} \\ 6x +6 -5 &=6x +1 =73 \Rightarrow x =12 \\ 6x +6 -6 &=6x =73 \Rightarrow x \approx12,166 \text{ — не целое} \end{align}
   
   Единственное целое решение: $\boxed{12}$.
2. Когда яйца раскладывали десятками, не хватило двух штук. Тогда решили раскладывать их дюжинами — и осталось 8 штук. Сколько яиц было, если их больше 420 и меньше 725?
   Решение: Условия задачи приводят к системе уравнений: \[ \begin{cases} N \equiv 8 \pmod{10} \\ N \equiv 8 \pmod{12} \end{cases} \] Общее решение: $N = 60k + 8$ при $k \in \mathbb{N}$.
   Найдем допустимые $k$: \[ 420 < 60k + 8 < 725 \Rightarrow 6,86 < k < 11,95 \Rightarrow k = 7, 8, 9, 10, 11 \] Соответствующие значения $N$: 428, 488, 548, 608, 668. Все удовлетворяют условию.
   Ответ: $\boxed{428}$, $\boxed{488}$, $\boxed{548}$, $\boxed{608}$, $\boxed{668}$.
3. В каких пропорциях нужно смешать 7%-процентный и 19%-процентный растворы йода, чтобы получить 16%-процентный раствор?
   Решение: Используем правило смешения: \[ \frac{m_{7\%}}{m_{19\%}} = \frac{19 - 16}{16 - 7} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \] Таким образом, соотношение масс растворов: $\boxed{1 : 3}$ (7% к 19%).
4. Петя и Вася рвали стенгазету. Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася — на 9 частей. Когда их заставили подбирать обрывки, они нашли 2007 кусков. Все ли куски они нашли?
   Решение: Количество кусков после разрывов можно выразить как: \[ 1 + 4m + 8n = 2007 \Rightarrow 4m + 8n = 2006 \Rightarrow 2m + 4n = 1003 \] Левая часть уравнения чётная, правая — нечётная. Следовательно, решение невозможно.
   Ответ: $\boxed{\text{Не все}}$ куски найдены.
5. Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и встречаются на расстоянии 350 м от одного берега, затем — в 420 м от другого. Какова ширина реки?
   Решение: Составим уравнения на основе отношений скоростей и расстояний: \[ \frac{350}{v_1} = \frac{W - 350}{v_2}, \quad \frac{2W - 420}{v_1} = \frac{W + 70}{v_2} \] Решая систему, находим $W = 639$ м.
   Ответ: Ширина реки $\boxed{639}$ метров.