8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа № 2007 ФМШ из 5 в 6 класс 2024 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 05.2024
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 05.2024
youit.school ©

ШКОЛА № 2007


2024


17.05.2024



  1. Найдите значение выражения. Все промежуточные вычисления должны быть записаны.
    1. \[ \left(\frac{32}{75} + \frac{11}{21}\right) \cdot \frac{7}{75} \]
    2. \[ \frac{17 \cdot 45 - 21 \cdot 17}{34 \cdot 19 + 29 \cdot 34} \]


  2. Вычислите, записав все промежуточные вычисления: \[ 22 \cdot \left( \frac{7}{3} - \frac{6 \cdot 7}{8} - \left( \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{15} \right) \cdot \left(1 \frac{1}{4} \right)^2 \right) \]

  3. У прямоугольника №1 стороны равны 15 см и 19 см. У прямоугольника №2 одна его сторона на 8 см больше другой его стороны. Известно, что периметры этих двух прямоугольников равны. Найдите площадь прямоугольника №2. Каждый шаг решения должен быть пояснен.

  4. Решите уравнение: \[ \frac{1}{3}x + \frac{3}{4}x + \frac{2}{5}x = \frac{5}{6}x + 3 \]

  5. Из A в B выехал гоночный автомобиль со скоростью 132 км/ч. Спустя два часа из B в A выехал грузовик. Гоночный автомобиль доехал до B и повернул обратно. Автомобили догнали друг друга, и к этому моменту грузовик проехал ровно треть пути от B к A, и это заняло у него 6 часов. Какова скорость грузовика? Каждый шаг решения должен быть пояснен.

  6. В двух корзинах 77 яблок. В первую корзину Ася добавила 16 яблок, а из второй корзины убрала 21 яблоко. Оказалось, что во второй корзине стало в 3 раза меньше яблок, чем в первой. Сколько яблок было в каждой корзине изначально? Каждый шаг решения должен быть пояснен.

  7. Было записано число. Его увеличили на чётное число, в котором число десятков в три раза больше числа единиц. Затем разделили на наибольшее однозначное число. После этого прибавили число, стоящее в натуральном ряду сразу после 12. Затем увеличили во столько раз, сколько есть нечётных чисел в промежутке от 22 до 36. В итоге получилось число 147. Какое число было записано изначально? Каждый шаг решения должен быть пояснен.

  8. У Коли был брусок пластилина в форме кирпича длиной 45 см, шириной 24 см и высотой 8 см. Вася отрезал от него кусок так, что длина исходного бруска стала меньше в три раза, остальные размеры не изменились. Из срезанного куска он слепил новый кирпич длиной 20 см, высотой 16 см. А какова оказалась ширина нового кирпича? Каждый шаг решения должен быть пояснен.

  9. Миша начертил треугольник \(ABC\). Сторона \(AB\) равна 168 см и составляет \( \frac{3}{8} \) от периметра. Сторона \(BC\) равна \( \frac{2}{7} \) от периметра. Найдите сторону \(AC\). Каждый шаг решения должен быть пояснен.

  10. На плацу командир строит подразделение солдат. Сначала он построил их в колонну из 12 одинаковых рядов, затем в колонну из 20 одинаковых рядов, и, наконец, в колонну из 8 одинаковых рядов. Какое наименьшее количество человек солдат было на плацу? Каждый шаг решения должен быть пояснен.

  11. С двух кранов, каждый из которых за минуту наполняет пустую ванну до краёв соответственно за 8 мин и 10 мин, начали наполнять одну ванну одновременно. После 4 мин первый кран выключили, и оставшуюся воду должен был наполнить только второй. Через сколько минут после выключения первого крана ванна наполнится до краёв? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Найдите значение выражения: \[ \left(\frac{32}{75} + \frac{11}{21}\right) \cdot \frac{7}{75} \] Решение:
      Приведём дроби к общему знаменателю 525:
      $\frac{32}{75} = \frac{32 \cdot 7}{75 \cdot 7} = \frac{224}{525}$
      $\frac{11}{21} = \frac{11 \cdot 25}{21 \cdot 25} = \frac{275}{525}$
      Сумма: $\frac{224 + 275}{525} = \frac{499}{525}$
      Умножение на $\frac{7}{75}$:
      $\frac{499}{525} \cdot \frac{7}{75} = \frac{499 \cdot 7}{525 \cdot 75} = \frac{3493}{39375}$
      Ответ: $\frac{3493}{39375}$.

    2. Найдите значение выражения: \[ \frac{17 \cdot 45 - 21 \cdot 17}{34 \cdot 19 + 29 \cdot 34} \] Решение:
      Вынесем общие множители:
      Числитель: $17 \cdot (45 - 21) = 17 \cdot 24$
      Знаменатель: $34 \cdot (19 + 29) = 34 \cdot 48$
      Упростим дробь:
      $\frac{17 \cdot 24}{34 \cdot 48} = \frac{17 \cdot 24}{2 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 24} = \frac{1}{4}$
      Ответ: $0,25$.


  2. Вычислите: \[ 22 \cdot \left( \frac{7}{3} - \frac{6 \cdot 7}{8} - \left( \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{15} \right) \cdot \left(1 \frac{1}{4} \right)^2 \right) \] Решение:
    Вычислим последовательно:
    $\frac{6 \cdot 7}{8} = \frac{42}{8} = 5,25$
    $\frac{7}{3} - 5,25 = \frac{7}{3} - \frac{21}{4} = \frac{28 - 63}{12} = -\frac{35}{12}$
    $\frac{3}{5} \cdot \frac{7}{15} = \frac{21}{75} = \frac{7}{25}$
    $\left(1 \frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$
    $\frac{7}{25} \cdot \frac{25}{16} = \frac{7}{16}$
    Внутри скобок: $-\frac{35}{12} - \frac{7}{16} = -\frac{140}{48} - \frac{21}{48} = -\frac{161}{48}$
    Умножение на 22: $22 \cdot \left(-\frac{161}{48}\right) = -\frac{3542}{48} = -\frac{1771}{24}$
    Ответ: $-\frac{1771}{24}$.

  3. У прямоугольника №1 стороны равны 15 см и 19 см. Периметр равен $2 \cdot (15 + 19) = 68$ см. У прямоугольника №2 стороны $x$ и $x + 8$, периметр $2 \cdot (x + x + 8) = 4x + 16$. По условию $4x + 16 = 68 \Rightarrow x = 13$. Стороны: 13 см и 21 см. Площадь: $13 \cdot 21 = 273$ см².
    Ответ: 273 см².

  4. Решите уравнение: \[ \frac{1}{3}x + \frac{3}{4}x + \frac{2}{5}x = \frac{5}{6}x + 3 \] Решение:
    Приведём к общему знаменателю 60:
    $20x + 45x + 24x = 50x + 180$
    $89x = 50x + 180 \Rightarrow 39x = 180 \Rightarrow x = \frac{180}{39} = \frac{60}{13}$
    Ответ: $\frac{60}{13}$.

  5. Пусть скорость грузовика $v$ км/ч. Расстояние между A и B: $S = 18v$ км. Гоночный автомобиль проехал $S$ за $\frac{18v}{132} = \frac{3v}{22}$ ч. Общее время до встречи: $2 + 6 = 8$ ч. Путь гоночного автомобиля: $132 \cdot 8 = 1056$ км. Расстояние до встречи от B: $6v$ км. Уравнение: $18v + 6v = 1056 \Rightarrow 24v = 1056 \Rightarrow v = 44$ км/ч.
    Ответ: 44 км/ч.

  6. Пусть в первой корзине было $x$ яблок, во второй $77 - x$. После изменений:
    Первая: $x + 16$, вторая: $56 - x$.
    Уравнение: $3(56 - x) = x + 16 \Rightarrow 168 - 3x = x + 16 \Rightarrow 4x = 152 \Rightarrow x = 38$.
    Ответ: 38 и 39 яблок.

  7. Пусть исходное число $N$. Увеличили на число $a = 62$ (десятки: 6, единицы: 2). Далее: $\frac{N + 62}{9} + 13$, умножили на 7 (7 нечётных чисел от 22 до 36). Уравнение: $7\left(\frac{N + 62}{9} + 13\right) = 147 \Rightarrow \frac{N + 62}{9} = 8 \Rightarrow N = 72 - 62 = 10$.
    Ответ: 10.

  8. Объём отрезанного куска: $30 \cdot 24 \cdot 8 = 5760$ см³. Новая ширина: $\frac{5760}{20 \cdot 16} = 18$ см.
    Ответ: 18 см.

  9. Периметр треугольника: $168 \cdot \frac{8}{3} = 448$ см. Сторона $BC = 448 \cdot \frac{2}{7} = 128$ см. Сторона $AC = 448 - 168 - 128 = 152$ см.
    Ответ: 152 см.

  10. Наименьшее общее кратное чисел 12, 20, 8: НОК$(12, 20, 8) = 120$.
    Ответ: 120 человек.

  11. За 4 минуты вместе наполнили: $4\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{10}\right) = \frac{9}{10}$ ванны. Осталось $\frac{1}{10}$, что второй кран наполнит за $\frac{1}{10} : \frac{1}{10} = 1$ минуту.
    Ответ: 1 минута.
Материалы школы Юайти