Школа № 2007 ФМШ из 5 в 6 класс 2024 год вариант 1

ШКОЛА № 2007

2024

05.04.2024

1. Найдите значение выражения. Все промежуточные вычисления должны быть записаны.
   1. \( \dfrac{32}{39} - \left( \dfrac{4}{19} \cdot \dfrac{19}{39} \right) \)
   2. \( \dfrac{32 \cdot 18 + 31 \cdot 32}{141 \cdot 16 - 134 \cdot 16} \)
   
   
   
2. Вычислите, записав все промежуточные вычисления: \[ \left( \dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{8} \right) \cdot \dfrac{3}{16} - \left( \dfrac{1}{7} - \dfrac{7}{9} \right) \cdot \left( \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{5} \right)^2 \]
   
   
3. В прямоугольнике длина на 6 см больше ширины. Периметр этого прямоугольника равен 64 см. На сколько площадь квадрата со стороной, равной длине этого прямоугольника, больше, чем площадь квадрата со стороной, равной ширине этого прямоугольника? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
   
   
4. Решите уравнение: \[ \dfrac{3}{14} \left( \dfrac{1}{12} - \dfrac{5}{6} \right) = \dfrac{5}{14} \]
   
   
5. Из \(A\) в \(B\) выезжает грузовик со скоростью 72 км/ч. Через 2 часа из \(B\) в \(A\) выехала гоночная машина. Ещё через 6 часов они встретились. Известно, что всего грузовик проехал треть пути из \(A\) в \(B\). Какова скорость гоночной машины? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
   
   
6. Женя и Юля коллекционируют монетки. В начале года у Жени было в 3 раза больше монеток, чем у Юли. К концу года коллекция Жени пополнилась на 14 монеток, а Юли — на 22 монетки. Вместе у них оказалось 204 монетки. Сколько монеток было у каждого в начале года? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
   
   
7. Было записано число. Его увеличили на самое большое двузначное число. Затем вычли двузначное число, где число единиц в 5 раз больше числа десятков. Разделили на число, которое стоит перед 20 в ряду натуральных чисел. Затем умножили на нечётное число, которое состоит из цифры 1 и цифры 2. В итоге получилось число 105. Какое число было записано изначально? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
   
   
8. Есть брусок пластилина длиной 15 см, шириной 16 см и высотой 6 см. Вася отрезал от него ровно половину и сделал кирпичик. У нового кирпича высота 5 см, ширина 12 см. А какова длина нового кирпича? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
   
   
9. Миша захотел приготовить молочный коктейль и угостить своих друзей. Для этого он взял клубничное варенье, мороженое и молоко. Известно, что варенье составляло \( \dfrac{2}{7} \), а количество молока — \( \dfrac{4}{5} \) от количества мороженого. Всего Миша взял 1260 мл варенья и молока. Сколько коктейлей получилось, если он использовал одинаковые бутылки без остатка? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
   
   
10. В магазин привезли 84 розовых, 56 белых и 42 красных розы. Из этих цветов собрали одинаковые букеты. Каждый букет состоит из одного цвета. Какое наибольшее количество одинаковых по количеству роз букетов можно собрать из этих роз, и какое количество такого букета? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
    
    
11. Кран №1 наполняет пустой бак до отметки 7 см за 3 минуты. Кран №2 наполняет пустой бак до отметки 11 см за 4 минуты. После бака с дыра, через которую вода с отметки 25 см полностью вытекает за 12 минут. Бак был пуст, открыли два крана. Через какое время вода достигнет отметки 246 см? Каждый шаг решения должен быть пояснен.

Решения задач

1. 1. Найдите значение выражения: \( \dfrac{32}{39} - \left( \dfrac{4}{19} \cdot \dfrac{19}{39} \right) \)
      Решение: \[ \dfrac{32}{39} - \left( \dfrac{4}{19} \cdot \dfrac{19}{39} \right) = \dfrac{32}{39} - \dfrac{4}{39} = \dfrac{28}{39} \] Ответ: \(\dfrac{28}{39}\).
      
      
   2. Найдите значение выражения: \( \dfrac{32 \cdot 18 + 31 \cdot 32}{141 \cdot 16 - 134 \cdot 16} \)
      Решение: \[ \dfrac{32(18 + 31)}{16(141 - 134)} = \dfrac{32 \cdot 49}{16 \cdot 7} = \dfrac{1568}{112} = 14 \] Ответ: 14.
   
   
   
2. Вычислите: \[ \left( \dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{8} \right) \cdot \dfrac{3}{16} - \left( \dfrac{1}{7} - \dfrac{7}{9} \right) \cdot \left( \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{5} \right)^2 \] Решение: \[ \left( -\dfrac{6}{8} \right) \cdot \dfrac{3}{16} - \left( \dfrac{9 - 49}{63} \right) \cdot \left( \dfrac{9}{35} \right)^2 = -\dfrac{18}{128} - \left( -\dfrac{40}{63} \right) \cdot \dfrac{81}{1225} \] \[ = -\dfrac{9}{64} + \dfrac{3240}{77175} = -\dfrac{9}{64} + \dfrac{72}{1715} \approx -0,1406 + 0,042 = -0,0986 \] Ответ: \(-\dfrac{72}{1715} - \dfrac{9}{64}\) (точное значение требует общего знаменателя).
   
   
3. Пусть ширина прямоугольника \(x\) см, тогда длина \(x + 6\) см. Периметр: \[ 2(x + x + 6) = 64 \Rightarrow 4x + 12 = 64 \Rightarrow x = 13 \] Длина: \(19\) см. Площади квадратов: \[ 19^2 - 13^2 = 361 - 169 = 192 \text{ см}^2 \] Ответ: 192.
   
   
4. Решите уравнение: \[ \dfrac{3}{14} \left( \dfrac{1}{12} - \dfrac{5}{6} \right) = \dfrac{5}{14} \] Решение (предполагая опечатку): \[ \dfrac{3}{14} \left( \dfrac{x}{12} - \dfrac{5}{6} \right) = \dfrac{5}{14} \Rightarrow \dfrac{x}{12} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow \dfrac{x}{12} = \dfrac{15}{6} \Rightarrow x = 30 \] Ответ: 30.
   
   
5. Пусть \(S\) — расстояние \(AB\). Грузовик проехал: \[ 72 \cdot 8 = 576 \text{ км (треть пути)} \Rightarrow S = 1728 \text{ км} \] Машина проехала \(1728 - 576 = 1152\) км за 6 часов: \[ v = \dfrac{1152}{6} = 192 \text{ км/ч} \] Ответ: 192.
   
   
6. Пусть у Юли \(x\) монет, тогда у Жени \(3x\): \[ 3x + 14 + x + 22 = 204 \Rightarrow 4x = 168 \Rightarrow x = 42 \] Ответ: Женя — 126, Юля — 42.
   
   
7. Обратный ход: \[ 105 \div 21 \times 19 + 15 - 99 = 5 \times 19 + 15 - 99 = 11 \] Ответ: 11.
   
   
8. Объём половины бруска: \[ \dfrac{15 \cdot 16 \cdot 6}{2} = 720 \text{ см}^3 \Rightarrow \text{Длина} = \dfrac{720}{5 \cdot 12} = 12 \text{ см} \] Ответ: 12.
   
   
9. Пусть мороженое \(M\): \[ \dfrac{2}{7}M + \dfrac{4}{5}M = 1260 \Rightarrow M = \dfrac{1260 \cdot 35}{38} \approx 1160,53 \text{ мл} \] Ответ: требует уточнения условия.
   
   
10. НОД(84, 56, 42) = 14. Количество букетов: \[ 84 \div 14 = 6, \quad 56 \div 14 = 4, \quad 42 \div 14 = 3 \] Ответ: 14 букетов.
    
    
11. До 25 см: \[ t_1 = \dfrac{25}{\dfrac{7}{3} + \dfrac{11}{4}} = \dfrac{25 \cdot 12}{61} \approx 4,92 \text{ мин} \] После 25 см: \[ t_2 = \dfrac{221}{3} \approx 73,67 \text{ мин} \Rightarrow \text{Всего} \approx 78,59 \text{ мин} \] Ответ: \(\approx 78,6\) минут.