Школа № 2007 ФМШ из 5 в 6 класс 2022 год вариант 1

ШКОЛА № 2007

2022

18.08.2022

1. Вычислите значение ОДНОГО выражения по ВАШЕМУ выбору, все промежуточные вычисления должны быть записаны:
   1. $57{,}8 : 17 + 99{,}63 : (7{,}37 + 0{,}7)$
   2. $\left( 3 \dfrac{1}{2} + 1 \dfrac{2}{4} \right) \left( 2 \dfrac{3}{5} - 1 \dfrac{1}{3} \right) \cdot \dfrac{4}{25}$
   
   
   
2. Вычислите значение выражения. Все промежуточные вычисления должны быть записаны:
   1. $35 + 15 \cdot 31 + 32 \cdot 21 + 29 \cdot 32 + 33 \cdot 37 + 33 \cdot 13 + 34 \cdot 94 + 41 \cdot 34 + 35 \cdot 17 + 33 \cdot 35$
   2. $\text{НОК}(16;24) + \text{НОК}(15;16) + \text{НОК}(10;12)$
   
   
   
3. Ширина первого прямоугольника равна 15 см, длина — 20 см. Найдите периметр второго прямоугольника с той же площадью, если его ширина в 3 раза меньше ширины первого прямоугольника. Каждый шаг решения должен быть пояснен.
   
   
4. Маша выпила $\dfrac{1}{3}$ пакета сока, а Лена — $\dfrac{1}{4}$ оставшегося сока. Вместе они выпили 204 мл сока. Сколько мл сока выпил каждый из детей? Сколько сока осталось в пакете? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
   
   
5. В оранжерее выращивают тополя, нарциссы и лилии. Известно, что площадь, отведённая под лилии, в 4 раза меньше площади, на которой выращивают нарциссы. А площадь, занимаемая тополями, равна 540 м² и это составляет $\dfrac{3}{7}$ всей площади оранжереи. Найдите площадь, занимаемую нарциссами. Каждый шаг решения должен быть пояснен.
   
   
6. Длина бассейна равна 24 м, ширина — 15 м, глубина — 5 м. В бассейн было залито 216 м³ воды. Сколько кубических метров воды надо добавить в этот бассейн, чтобы уровень воды был ниже верхнего края бассейна на 20 см? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
   
   
7. Автомобиль «Лада» со скоростью 64 км/ч выехал из города $L$ в город $M$, расстояние между которыми равно 740 км. В то же время из города $M$ в $L$ выехал автомобиль «Москвич» со скоростью 84 км/ч. Через час из города $L$ навстречу «Опелю» выехал третий автомобиль со скоростью 60 км/ч. Известно, что все машины встретились одновременно. Найдите скорость «Опеля». Обоснуйте каждый шаг решения.
   
   
8. Трети умыскали число на 3. Стер последнюю цифру. Умножил число на 4, стёр последнюю цифру. Умножил на 5. Какое число могло быть в начале?
   
   
9. В каждой из двух кастрюль по 600 мл воды. Из первой кастрюли во вторую отлили 40% имеющегося в ней картофельного бульона. Затем из второй кастрюли во вторую отлили 30% от нового объёма воды второй кастрюли. В какой кастрюле теперь воды больше? На сколько?
   
   
10. Используя по одному разу цифры 3, 5, 8, Петя и Вася составили два разных трёхзначных числа. Сумма этих двух чисел оказалась равной 941. Какое число составил Петя, а какое Вася, если Петино число больше? Найдите числа, обосновывая каждый шаг решения. Найти все ответы и объяснить, почему других нет.
    
    
11. Вова выпил через соломинку 100 мл молочного коктейля за 4 минуты, Коля — 140 мл за 8 минут. Мама подливает им коктейль из пакета в общий стакан — 180 мл за 10 минут. Через сколько минут количество молочного коктейля в стакане уменьшится на 147 мл от исходного? Каждый шаг решения должен быть пояснен.

Решения задач

1. 1. Вычислите значение выражения: \[ \left( 3 \dfrac{1}{2} + 1 \dfrac{2}{4} \right) \left( 2 \dfrac{3}{5} - 1 \dfrac{1}{3} \right) \cdot \dfrac{4}{25} \] Решение: \begin{align} 3 \dfrac{1}{2} &= \dfrac{7}{2}, \quad 1 \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{7}{2} + \dfrac{3}{2} &= \dfrac{10}{2} = 5 \\ 2 \dfrac{3}{5} &= \dfrac{13}{5}, \quad 1 \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \\ \dfrac{13}{5} - \dfrac{4}{3} &= \dfrac{39 - 20}{15} = \dfrac{19}{15} \\ 5 \cdot \dfrac{19}{15} \cdot \dfrac{4}{25} &= \dfrac{5 \cdot 19 \cdot 4}{15 \cdot 25} = \dfrac{380}{375} = \dfrac{76}{75} = 1 \dfrac{1}{75} \end{align} Ответ: \(1 \dfrac{1}{75}\).
   
   
   
2. 1. Вычислите значение выражения: \[ 35 + 15 \cdot 31 + 32 \cdot 21 + 29 \cdot 32 + 33 \cdot 37 + 33 \cdot 13 + 34 \cdot 94 + 41 \cdot 34 + 35 \cdot 17 + 33 \cdot 35 \] Решение: \begin{align} 32 \cdot 21 + 29 \cdot 32 &= 32 \cdot 50 = 1600 \\ 33 \cdot 37 + 33 \cdot 13 &= 33 \cdot 50 = 1650 \\ 34 \cdot 94 + 41 \cdot 34 &= 34 \cdot 135 = 4590 \\ 35 \cdot 17 + 33 \cdot 35 &= 35 \cdot 50 = 1750 \\ 35 + 15 \cdot 31 &= 35 + 465 = 500 \\ 500 + 1600 + 1650 + 4590 + 1750 &= 10090 \end{align} Ответ: 10090.
      
      
   2. Вычислите значение выражения: \[ \text{НОК}(16;24) + \text{НОК}(15;16) + \text{НОК}(10;12) \] Решение: \begin{align*} \text{НОК}(16;24) &= 48, \quad \text{НОК}(15;16) = 240, \quad \text{НОК}(10;12) = 60 \\ 48 + 240 + 60 &= 348 \end{align*} Ответ: 348.
   
   
   
3. Периметр второго прямоугольника: Решение: \begin{align} \text{Площадь первого: } &15 \cdot 20 = 300 \text{ см²} \\ \text{Ширина второго: } &15 : 3 = 5 \text{ см} \\ \text{Длина второго: } &300 : 5 = 60 \text{ см} \\ \text{Периметр: } &2 \cdot (5 + 60) = 130 \text{ см} \end{align} Ответ: 130 см.
   
   
4. Количество выпитого сока: Решение: \begin{align} \text{Пусть весь сок } &x \text{ мл} \\ \text{Маша: } &\dfrac{x}{3}, \quad \text{Лена: } \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{2x}{3} = \dfrac{x}{6} \\ \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} &= 204 \Rightarrow x = 408 \text{ мл} \\ \text{Маша: } &136 \text{ мл}, \quad \text{Лена: } 68 \text{ мл}, \quad \text{Остаток: } 204 \text{ мл} \end{align} Ответ: Маша — 136 мл, Лена — 68 мл, остаток — 204 мл.
   
   
5. Площадь под нарциссами: Решение: \begin{align} \text{Вся площадь: } &540 : \dfrac{3}{7} = 1260 \text{ м²} \\ \text{Остаток: } &1260 - 540 = 720 \text{ м²} \\ \text{Пусть лилии } y, \text{ тогда нарциссы } 4y: & \\ y + 4y &= 720 \Rightarrow y = 144 \text{ м²}, \quad 4y = 576 \text{ м²} \end{align} Ответ: 576 м².
   
   
6. Объем воды для добавления: Решение: \begin{align} \text{Требуемая высота: } &5 - 0,2 = 4,8 \text{ м} \\ \text{Требуемый объем: } &24 \cdot 15 \cdot 4,8 = 1728 \text{ м³} \\ \text{Добавить: } &1728 - 216 = 1512 \text{ м³} \end{align} Ответ: 1512 м³.
   
   
7. Скорость «Опеля»: Решение: \begin{align} \text{Время встречи Лады и Москвича: } &t = \dfrac{740}{64 + 84} = 5 \text{ ч} \\ \text{Расстояние до встречи: } &64 \cdot 5 = 320 \text{ км} \\ \text{Скорость Опеля: } &\dfrac{320}{5 - 1} = 80 \text{ км/ч} \end{align} Ответ: 80 км/ч.
   
   
8. Исходное число: Решение: \begin{align*} \text{Пример: } &255 \rightarrow 255 - 3 = 252 \rightarrow 25 \rightarrow 25 \cdot 4 = 100 \rightarrow 10 \rightarrow 10 \cdot 5 = 50 \\ \text{Возможные числа: } &103, 203, 303, ..., 993 \text{ (последняя цифра ≥3)} \end{align*} Ответ: Любое трёхзначное число с последней цифрой от 3 до 9.
   
   
9. Объём воды в кастрюлях: Решение: \begin{align} \text{После первого переливания: } &600 - 240 = 360 \text{ мл}, \quad 600 + 240 = 840 \text{ мл} \\ \text{После второго переливания: } &840 - 252 = 588 \text{ мл}, \quad 360 + 252 = 612 \text{ мл} \\ \text{Разница: } &612 - 588 = 24 \text{ мл} \end{align} Ответ: В первой кастрюле больше на 24 мл.
   
   
10. Числа Пети и Васи: Решение: \begin{align} 583 + 358 &= 941 \\ \text{Петя: } 583, \quad \text{Вася: } 358 \end{align} Ответ: 583 и 358.
    
    
11. Время уменьшения коктейля: Решение: \begin{align} \text{Скорость убывания: } &25 + 17,5 - 18 = 24,5 \text{ мл/мин} \\ \text{Время: } &\dfrac{147}{24,5} = 6 \text{ минут} \end{align} Ответ: 6 минут.