Школа № 2007 ФМШ из 5 в 6 класс 2021 год вариант 1

ШКОЛА № 2007

2021

23.04.2021

1. Вычислите значение ОДНОГО выражения по ВАШЕМУ выбору, все промежуточные вычисления должны быть записаны:
   1. $99,63 : (7,37 + 0,73) - 57,8 : 17$;
   2. $\left( 2\dfrac{1}{2} + 1\dfrac{2}{3} + 3\dfrac{1}{5} - 3\dfrac{2}{5} \right) \cdot \dfrac{8}{5}$.
2. Вычислите значение выражения. Все промежуточные вычисления должны быть записаны: \[ 23\cdot9 + 41\cdot23 + 25\cdot26 + 25\cdot24 + 27\cdot30 + 20\cdot27 + 29\cdot11 + 39\cdot29; \] \[ \text{б)}\quad \text{НОК}(10,15) + \text{НОК}(18,6) + \text{НОК}(15,2) \quad (\text{НОК — Наименьшее Общее Кратное}). \]
3. Даны два квадрата и прямоугольник. Длина прямоугольника равна стороне первого квадрата, а ширина — стороне второго квадрата. Периметр меньшего из квадратов — 20 см. Сторона большого квадрата — в 3 раза больше стороны меньшего. Найдите площадь прямоугольника.
   Каждый шаг решения должен быть пояснен.
4. Маша выпила $\dfrac{3}{11}$ пакета сока, а Лена — $\dfrac{1}{8}$ оставшегося сока. Вместе они выпили 344 мл сока. Сколько мл сока было в пакете изначально? Сколько сока осталось в пакете?
   Каждый шаг решения должен быть пояснен.
5. В треугольнике $ABC$ известно, что сторона $AC$ в три раза больше стороны $BC$, а их сумма составляет $\dfrac{4}{7}$ от периметра треугольника. Найдите длины сторон треугольника, если его периметр равен 756 см.
   Каждый шаг решения должен быть пояснен.
6. Длина аквариума равна 25 см, ширина — 32 см, глубина — 80 см. На дно аквариума насыпан песок (равномерно). Чтобы заполнить аквариум водой доверху, потребуется 51040 см$^3$ воды. Найдите уровень песка в аквариуме.
   Каждый шаг решения должен быть пояснен.
7. Из города M в город N, расстояние между которыми равно 2970 км одновременно выехали автомобили «Москвич» и «Чайка». В то же время из N в M выехал «Рено». Найдите расстояние между (Москвичем и Чайкой) в момент встречи «Чайки» и «Рено». Скорости автомобилей: «Москвич» — 90 км/ч, «Чайка» — 60 км/ч, «Рено» — 75 км/ч.
   Обоснуйте каждый шаг решения.
8. Толя увеличил число кубиков в башне в два раза, затем добавил один кубик. Паша уменьшил новую башню в три раза, после чего убрал один кубик. Катя увеличила новую башню в пять раз и добавила еще кубик. В башне стало 11 кубиков. А сколько было вначале?
   Каждый шаг решения должен быть пояснен.
9. В каждой из двух кастрюль по 2800 мл воды. Из первой кастрюли во вторую отлили 25% имеющейся в первой кастрюле воды. Затем из второй кастрюли во вторую отлили 20% от нового объема воды второй кастрюли в первую кастрюлю. Где в итоге воды больше? На сколько?
   Каждый шаг решения должен быть пояснен.
10. К трёхзначному числу Васи приписали цифру «8» слева, а Пети — «5» справа. У Васи и Пети получилось по ЧЕТЫРЁХЗНАЧНОМУ числу. Сумма этих двух четырёхзначных чисел равна 1823. Найдите исходное трёхзначное число, поясняя каждый шаг решения. Найдите сумму цифр этого числа.
11. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 40 дней. Первый рабочий за 3 дня выполняет такую часть работы, какую второй выполняет за 5 дней.
    1. За сколько дней потребуется каждому из них для выполнения такой работы в одиночку?
    2. Какую часть этой работы сделал каждый из рабочих, когда они работали вместе?
       Каждый шаг решения должен быть пояснен.

Решения задач

1. 1. Вычислите значение выражения: $99,63 : (7,37 + 0,73) - 57,8 : 17$
      Решение:
      $7,37 + 0,73 = 8,1$
      $99,63 : 8,1 = 12,3$
      $57,8 : 17 = 3,4$
      $12,3 - 3,4 = 8,9$
      Ответ: 8,9.
2. 1. Вычислите значение выражения: $23 \cdot 9 + 41 \cdot 23 + 25 \cdot 26 + 25 \cdot 24 + 27 \cdot 30 + 20 \cdot 27 + 29 \cdot 11 + 39 \cdot 29$
      Решение:
      Группируем слагаемые:
      $23 \cdot (9 + 41) + 25 \cdot (26 + 24) + 27 \cdot (30 + 20) + 29 \cdot (11 + 39)$
      $23 \cdot 50 + 25 \cdot 50 + 27 \cdot 50 + 29 \cdot 50 = (23 + 25 + 27 + 29) \cdot 50 = 104 \cdot 50 = 5200$
      Ответ: 5200.
   2. Вычислите: $\text{НОК}(10,15) + \text{НОК}(18,6) + \text{НОК}(15,2)$
      Решение:
      $\text{НОК}(10,15) = 30$, $\text{НОК}(18,6) = 18$, $\text{НОК}(15,2) = 30$
      $30 + 18 + 30 = 78$
      Ответ: 78.
3. Периметр меньшего квадрата 20 см, его сторона $20 : 4 = 5$ см. Сторона большего квадрата $5 \cdot 3 = 15$ см. Прямоугольник имеет стороны 15 см и 5 см. Площадь $15 \cdot 5 = 75$ см².
   Ответ: 75 см².
4. Пусть изначально было $x$ мл сока. Маша выпила $\frac{3}{11}x$, осталось $\frac{8}{11}x$. Лена выпила $\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{11}x = \frac{1}{11}x$. Вместе выпито $\frac{4}{11}x = 344$ мл. Тогда $x = 344 \cdot \frac{11}{4} = 946$ мл. Остаток: $946 - 344 = 602$ мл.
   Ответ: 946 мл, 602 мл.
5. Периметр треугольника 756 см. Сумма $AC + BC = \frac{4}{7} \cdot 756 = 432$ см. Пусть $BC = x$, тогда $AC = 3x$. $x + 3x = 432 \Rightarrow x = 108$ см. $BC = 108$ см, $AC = 324$ см. Сторона $AB = 756 - 432 = 324$ см.
   Ответ: 108 см, 324 см, 324 см.
6. Объём аквариума: $25 \cdot 32 \cdot 80 = 64000$ см³. Объём воды 51040 см³, объём песка $64000 - 51040 = 12960$ см³. Уровень песка: $\frac{12960}{25 \cdot 32} = 16,2$ см.
   Ответ: 16,2 см.
7. Время до встречи «Чайки» и «Рено»: $\frac{2970}{60 + 75} = 22$ ч. За это время «Москвич» проехал $90 \cdot 22 = 1980$ км, «Чайка» — $60 \cdot 22 = 1320$ км. Расстояние между ними: $1980 - 1320 = 660$ км.
   Ответ: 660 км.
8. Пусть изначально было $x$ кубиков. Уравнение: $5\left(\frac{2x + 1}{3} - 1\right) + 1 = 11$. Решение: $\frac{2x + 1 - 3}{3} = 2 \Rightarrow 2x - 2 = 6 \Rightarrow x = 4$.
   Ответ: 4.
9. После первого переливания в первой кастрюле 2100 мл, во второй — 3500 мл. После второго переливания: из второй отлили $20% \cdot 3500 = 700$ мл. В итоге в обеих кастрюлях по 2800 мл. Воды поровну.
   Ответ: воды поровну.
10. Пусть исходное трёхзначное число $x$. Уравнение: $(8000 + x) + (10x + 5) = 1823$ не имеет решения в натуральных числах. Возможна ошибка в условии задачи.
11. 1. Пусть первый рабочий делает работу за $x$ дней, второй — за $y$ дней. Система:
       $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{40} \\ \frac{3}{x} = \frac{5}{y} \end{cases} \Rightarrow y = \frac{5}{3}x$
       Подстановка: $\frac{1}{x} + \frac{3}{5x} = \frac{1}{40} \Rightarrow x = 64$ дней, $y = \frac{320}{3} \approx 106,67$ дней.
       Ответ: 64 дня, $\approx 106,67$ дней.
    2. Первый выполнил $\frac{40}{64} = \frac{5}{8}$, второй — $\frac{40}{\frac{320}{3}} = \frac{3}{8}$ работы.
       Ответ: $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{8}$.