Школа № 2007 ФМШ из 5 в 6 класс 2020 год вариант 1-5

ШКОЛА № 2007

2020

1. Вычислите значение ОДНОГО выражения по ВАШЕМУ выбору, все промежуточные вычисления должны быть записаны:
   1. \( (19{,}83 + 72{,}28 : 45{,}1 - 6{,}22 \cdot 3) \);
   2. \( \left( \frac{4}{5} \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{5}{6} \right) - \frac{2}{5} \right) : \left( \frac{3}{4} - \frac{7}{8} \right) \)
   
   
   
2. Вычислите значение выражения. Все промежуточные вычисления должны быть записаны: \[ \text{НОК}(12, 14) + \text{НОК}(15, 24) + \text{НОК}(12, 28) \] (НОК — наименьшее общее кратное)
   
   
3. Одна сторона прямоугольника в 8 раз меньше другой. Периметр прямоугольника 270 см. Чему равна площадь этого прямоугольника? Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
4. Маша построила башенку из \( \frac{6}{13} \) всех имеющихся в коробке кубиков, а Толя — из \( \frac{2}{13} \). Всего в двух башенках 6616 кубиков. Сколько кубиков было изначально в коробке? Сколько кубиков осталось? Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
5. Обувная коробка имеет объём 1008 см\textsuperscript{3}, её глубина 14 см, а одна из сторон основания 8 см.
   1. Найти периметр дна коробки;
   2. Найти суммарную площадь боковых стенок.
   Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
6. Между домами Алика и Бори 18 км. Мальчики одновременно выбежали навстречу друг другу. Алик бежал со скоростью 10 км/ч, Боря — со скоростью 5 км/ч. Через 22 минуты после их старта выбежала собака одного из мальчиков и побежала за хозяином. Известно, что собака и мальчики встретились одновременно. Найдите скорость собаки, если:
   1. это собака Алика;
   2. это собака Бори.
   Обоснуйте каждый шаг решения. Ответ дайте в метрах в минуту.
   
   
7. В баке была налита вода. В жаркий день часть воды испарилась, и объём воды уменьшился на треть. Ночью пошёл дождь, и объём воды увеличился на четверть того, что осталось после жаркого дня. Утром бабушка полила цветы, истратив третью часть имеющейся воды. После пятую часть оставшейся воды использовали для приготовления обеда. В баке осталось 8 литров воды. А сколько там было воды в самом начале? Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
8. В каждой из двух кастрюль по 2400 мл воды. Из первой кастрюли во вторую отлили 40% имеющейся в первой кастрюле воды. Затем из второй кастрюли в первую отлили 45% имеющейся во второй кастрюле на данный момент воды.
   1. В какой кастрюле теперь воды больше?
   2. На сколько?
   Каждый шаг решения должен быть обоснован.
   
   
9. Миша успевает за 20 минут влить в бочку 7 л воды, а Серёжа — за 8 минут 3 литра. Маленький Ваня вычерпывает совочком по 1 л каждые 10 минут. Через сколько времени в пустой бочке накопится 150 л воды?

Решения задач

1. Вычислите значение выражения:
   1. \( (19{,}83 + 72{,}28 : 45{,}1 - 6{,}22 \cdot 3) \)
      Решение:
      \(72{,}28 : 45{,}1 = 1{,}6\)
      \(6{,}22 \cdot 3 = 18{,}66\)
      \(19{,}83 + 1{,}6 = 21{,}43\)
      \(21{,}43 - 18{,}66 = 2{,}77\)
      Ответ: 2,77.
   
   
   
2. Вычислите значение выражения: \[ \text{НОК}(12, 14) + \text{НОК}(15, 24) + \text{НОК}(12, 28) \] Решение:
   \(\text{НОК}(12, 14) = 84\) (12 = \(2^2 \cdot 3\), 14 = \(2 \cdot 7\))
   \(\text{НОК}(15, 24) = 120\) (15 = \(3 \cdot 5\), 24 = \(2^3 \cdot 3\))
   \(\text{НОК}(12, 28) = 84\) (12 = \(2^2 \cdot 3\), 28 = \(2^2 \cdot 7\))
   \(84 + 120 + 84 = 288\)
   Ответ: 288.
   
   
3. Одна сторона прямоугольника в 8 раз меньше другой. Периметр прямоугольника 270 см. Чему равна площадь этого прямоугольника?
   Решение:
   Пусть меньшая сторона \(x\), тогда большая \(8x\).
   Периметр: \(2(x + 8x) = 18x = 270 \Rightarrow x = 15\) см.
   Стороны: 15 см и 120 см.
   Площадь: \(15 \cdot 120 = 1800\) см\(^2\).
   Ответ: 1800 см\(^2\).
   
   
4. Маша построила башенку из \( \frac{6}{13} \) всех кубиков, Толя — из \( \frac{2}{13} \). Всего в двух башенках 6616 кубиков. Сколько кубиков было изначально?
   Решение:
   Общая доля кубиков: \(\frac{6}{13} + \frac{2}{13} = \frac{8}{13}\).
   Пусть всего кубиков \(x\): \(\frac{8}{13}x = 6616 \Rightarrow x = 6616 \cdot \frac{13}{8} = 10751\).
   Осталось: \(10751 - 6616 = 4135\) кубиков.
   Ответ: 10751 кубик; 4135 кубиков.
   
   
5. Обувная коробка объёмом 1008 см\textsuperscript{3}, глубина 14 см, сторона основания 8 см.
   1. Периметр дна коробки:
      Решение:
      Вторая сторона основания: \(\frac{1008}{14 \cdot 8} = 9\) см.
      Периметр: \(2(8 + 9) = 34\) см.
      Ответ: 34 см.
      
      
   2. Суммарная площадь боковых стенок:
      Решение:
      Площадь двух стенок: \(2 \cdot 8 \cdot 14 = 224\) см\(^2\).
      Площадь двух других: \(2 \cdot 9 \cdot 14 = 252\) см\(^2\).
      Сумма: \(224 + 252 = 476\) см\(^2\).
      Ответ: 476 см\(^2\).
   
   
   
6. Мальчики выбежали навстречу друг другу. Собака выбежала через 22 минуты.
   1. Собака Алика:
      Решение:
      Время до встречи мальчиков: \(\frac{18}{10 + 5} = 1{,}2\) часа = 72 минуты.
      Собака бежала: \(72 - 22 = 50\) минут.
      Расстояние, которое пробежал Алик за 50 минут: \(10 \cdot \frac{50}{60} = 8{,}333\) км.
      Скорость собаки: \(\frac{8{,}333}{\frac{50}{60}} = 10\) км/ч = \(166{,}67\) м/мин.
      Ответ: 166,67 м/мин.
      
      
   2. Собака Бори:
      Решение:
      Расстояние, которое пробежал Боря за 50 минут: \(5 \cdot \frac{50}{60} = 4{,}166\) км.
      Скорость собаки: \(\frac{4{,}166}{\frac{50}{60}} = 5\) км/ч = \(83{,}33\) м/мин.
      Ответ: 83,33 м/мин.
   
   
   
7. В баке осталось 8 литров воды. Начальный объём:
   Решение:
   Пусть начальный объём \(x\).
   После испарения: \(\frac{2}{3}x\).
   После дождя: \(\frac{2}{3}x + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}x = \frac{5}{6}x\).
   После полива: \(\frac{5}{6}x \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{9}x\).
   После обеда: \(\frac{5}{9}x \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{9}x = 8 \Rightarrow x = 18\) л.
   Ответ: 18 л.
   
   
8. В кастрюлях после переливаний:
   1. Первоначально: 2400 мл в каждой.
      После первого переливания: первая — 1440 мл, вторая — 3360 мл.
      После второго переливания: первая — 2952 мл, вторая — 1848 мл.
      Ответ: в первой кастрюле больше.
      
      
   2. Разница: \(2952 - 1848 = 1104\) мл.
      Ответ: на 1104 мл.
   
   
   
9. Время накопления 150 л воды:
   Решение:
   Скорость наполнения: \(\frac{7}{20} + \frac{3}{8} - \frac{1}{10} = 0{,}625\) л/мин.
   Время: \(\frac{150}{0{,}625} = 240\) минут = 4 часа.
   Ответ: 4 часа.