8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа № 2007 ФМШ из 5 в 6 класс 2020 год вариант 1-4

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2020
Печать
youit.school ©

ШКОЛА № 2007


2020




  1. Петя умножил число на 3. Стер последнюю цифру. Умножил число на 5, стер последнюю цифру. Получил число 4. Какое число могло быть вначале?

  2. Разность двух натуральных чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 2007?

  3. Маша увеличила длину бус на две трети длины. Затем ещё на три пятых новой длины. И наконец, на пять двенадцатых новой длины. В результате длина бус стала равна 34 бусинам. Какая длина была в начале?

  4. Произведение 15 целых чисел равно 455625. Докажите, что их сумма НЕ равна 2016.

  5. Делитель в 4 раза больше, чем частное, и в 9 раз меньше, чем делимое. Восстановите пример.

  6. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

  7. На путь от дома до колодца и обратно Марфа потратила 12 минут. За водой от дома до колодца она шла со скоростью 90 м/мин, а возвращалась с водой от колодца до дома — со скоростью 30 м/мин. Найдите расстояние от дома до колодца.

  8. Паша перемножил три суммы \((a + b)\), \((a + c)\) и \((c + b)\). В результате он получил 2007. Не ошибся ли он?

  9. Максим и Сергей съедают пачку печенья за 3 минуты, Максим и Андрей — за 4 минуты, Сергей и Андрей — за 6 минут. Как быстро они втроём съедят 3 таких пачки печенья?

  10. Делитель в 4 раза меньше, чем частное, и в 24 раза меньше, чем делимое. Восстановите пример.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Петя умножил число на 3. Стер последнюю цифру. Умножил число на 5, стер последнюю цифру. Получил число 4. Какое число могло быть вначале?
    Решение: Пусть исходное число \( N \). После умножения на 3 и стирания последней цифры получим число \( \left\lfloor \frac{3N}{10} \right\rfloor \). Умножив его на 5 и стерев последнюю цифру, получим 4. Тогда:
    \( 5 \cdot \left\lfloor \frac{3N}{10} \right\rfloor = 10k + 4 \), где \( k \) — целое. Отсюда \( \left\lfloor \frac{3N}{10} \right\rfloor = 2k + 0,8 \), что невозможно. Рассмотрим обратный ход:
    После второго стирания: 4. Перед стиранием: 40–49. Тогда перед вторым умножением: \( \frac{40}{5} = 8 \) до \( \frac{49}{5} = 9,8 \). Целые числа 8 и 9. После первого стирания: 8 или 9. Тогда исходное число после умножения на 3: 80–89 или 90–99. Исходное число: \( \frac{80}{3} \approx 26,67 \) до \( \frac{99}{3} = 33 \). Целые числа от 27 до 33. Проверка подтверждает, что все они подходят.
    Ответ: 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33.
  2. Разность двух натуральных чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 2007?
    Решение: Пусть \( a > b \). Тогда \( (a - b)ab = 2007 \). Разложим 2007: \( 2007 = 3^2 \cdot 223 \). Перебирая возможные множители, убеждаемся, что \( a - b \), \( a \), \( b \) не могут быть натуральными одновременно. Например, \( a - b = 3 \), \( ab = 669 \). Тогда \( a = b + 3 \ставляем:ставляем: \( (b + 3)b = 669 \). Дискриминант \( D = 9 + 4 \cdot 669 = 2685 \), не является квадратом. Аналогично для других комбинаций — решения нет.
    Ответ: Нет.
  3. Маша увеличила длину бус на две трети длины. Затем ещё на три пятых новой длины. И наконец, на пять двенадцатых новой длины. В результате длина бус стала равна 34 бусинам. Какая длина была в начале?
    Решение: Пусть начальная длина \( x \). Последовательно увеличиваем:
    \( x \cdot \frac{5}{3} \rightarrow \frac{5}{3}x \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{3}x \rightarrow \frac{8}{3}x \cdot \frac{17}{12} = \frac{34}{9}x \). Уравнение: \( \frac{34}{9}x = 34 \Rightarrow x = 9 \).
    Ответ: 9 бусин.
  4. Произведение 15 целых чисел равно 455625. Докажите, что их сумма НЕ равна 2016.
    Решение: \( 455625 = 5^4 \cdot 3^6 \). Все множители нечётные. Сумма 15 нечётных чисел — нечётна. Число 2016 чётно. Противоречие.
    Ответ: Сумма не может быть чётной.
  5. Делитель в 4 раза больше, чем частное, и в 9 раз меньше, чем делимое. Восстановите пример.
    Решение: Пусть делитель \( D = 4Q \), делимое \( N = 9D = 36Q \). Пример: \( 324 \div 36 = 9 \).
    Ответ: \( 324 \div 36 = 9 \).
  6. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя — за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?
    Решение: Сумма производительностей: \( I + P = \frac{1}{9} \), \( P + V = \frac{1}{12} \), \( V + I = \frac{1}{18} \). Сложим: \( 2(I + P + V) = \frac{1}{4} \Rightarrow I + P + V = \frac{1}{8} \). Время: \( 8 \) часов.
    Ответ: 8 часов.
  7. На путь от дома до колодца и обратно Марфа потратила 12 минут. Скорости: 90 м/мин и 30 м/мин. Найдите расстояние.
    Решение: Пусть расстояние \( S \). Время: \( \frac{S}{90} + \frac{S}{30} = 12 \). Решение: \( S = 270 \) м.
    Ответ: 270 метров.
  8. Паша перемножил три суммы \((a + b)\), \((a + c)\) и \((c + b)\). Получил 2007. Не ошибся ли он?
    Решение: \( 2007 = 3^2 \cdot 223 \). Суммы \( (a + b) \), \( (a + c) \), \( (b + c) \) должны быть натуральными. Невозможно подобрать целые \( a, b, c \), так как сумма трёх чисел даёт нецелое значение.
    Ответ: Ошибся.
  9. Максим и Сергей съедают пачку за 3 минуты, Максим и Андрей — за 4 минуты, Сергей и Андрей — за 6 минут. За сколько они втроём съедят 3 пачки?
    Решение: Сумма скоростей: \( M + S = \frac{1}{3} \), \( M + A = \frac{1}{4} \), \( S + A = \frac{1}{6} \). Сложим: \( 2(M + S + A) = \frac{3}{4} \Rightarrow M + S + A = \frac{3}{8} \). Время для 3 пачек: \( 8 \) минут.
    Ответ: 8 минут.
  10. Делитель в 4 раза меньше, чем частное, и в 24 раза меньше, чем делимое. Восстановите пример.
    Решение: Пусть делитель \( D = \frac{Q}{4} \), делимое \( N = 24D = 6Q \). Пример: \( 144 \div 6 = 24 \).
    Ответ: \( 144 \div 6 = 24 \).
Материалы школы Юайти