Школа № 2007 ФМШ из 5 в 6 класс 2020 год вариант 1-1
Печать
youit.school ©
ШКОЛА № 2007
2020
- Одна сторона прямоугольника в 11 раз меньше другой. Периметр прямоугольника 216 см. Чему равна площадь этого прямоугольника?
- Илья выпил \( \frac{3}{11} \) стакана молока, Варя — \( \frac{5}{11} \). Вместе они выпили 312 мл молока. Сколько мл молока было в стакане изначально? Сколько молока осталось в стакане? (Решение полностью обосновать.)
- Вычислите значение выражения (все промежуточные вычисления должны быть записаны):
\[
\text{а)}\ 36 \cdot 35 - 35 \cdot 34 + 34 \cdot 33 - 33 \cdot 32 + 32 \cdot 31 - 31 \cdot 30 +
\]
\[
30 \cdot 29 - 29 \cdot 28 + 28 \cdot 27 - 27 \cdot 26 + 26 \cdot 25 - 25 \cdot 24
\]
\[
\text{б)}\ \text{НОК}(24,18) + \text{НОК}(18,15) + \text{НОК}(15,24)
\]
- Вычислите значение ОДНОГО выражения по ВАШЕМУ выбору, все промежуточные вычисления должны быть записаны:
- \(91{,}53 : (9{,}96 − 1{,}86) − 41{,}6 :13\);
- \[ \left( \frac{4}{3} \cdot \frac{12}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \right) : \left( \frac{3}{11} - \frac{8}{7} \right) \]
- Развёрнутый угол \( \angle MNK \) разделён лучами \(NP\) и \(NL\) на три угла: \( \angle MNP \) в четыре раза меньше угла \( \angle PNL \), и в семь раз меньше угла \( \angle LNK \). Найдите градусную меру углов \( \angle PNK \), \( \angle PNL \) и \( \angle LNK \).
- Есть стеклянный аквариум. Его объём равен 1001 см³, его глубина 11 см, а одна из сторон основания — 7 см. Найти периметр дна аквариума. Найти суммарную площадь боковых стенок.
- Таракан Валентин точно знает свою скорость в см/сек. Он объявил, что умеет бегать со скоростью 125 м/мин. Но Валентин думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью на самом деле бегает таракан Валентин? Ответ дать в м/мин.
- Толя увеличил число кубиков в башне в два раза, затем добавил один кубик. Паша уменьшил новую башню в три раза, после чего убрал один кубик. Катя увеличила новую башню в пять раз и добавила ещё кубик. В башне стало 11 кубиков. А сколько было вначале?
- В каждом кувшине по 150 мл сока. Из первого кувшина во второй отлили 40% имеющегося там сока. Затем из второго отлили в первый 40% имеющегося на данный момент там сока. В каком кувшине больше в итоге сока и на сколько?
- К трёхзначному числу Вася приписал цифру «9» слева, а Петя — «7» справа. У Васи и Пети получилось по четырёхзначному числу. Сумма этих двух чисел равна 17719. Найдите такое трёхзначное число, обосновывая каждый шаг решения.
- Максим и Сергей съедают пачку печенья за 3 минуты, Максим и Андрей — за 4 минуты, Сергей и Андрей — за 6 минут. Как быстро они втроём съедят 3 таких пачки печенья?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Одна сторона прямоугольника в 11 раз меньше другой. Периметр прямоугольника 216 см. Чему равна площадь этого прямоугольника?
Решение: Пусть меньшая сторона равна \(x\) см, тогда большая сторона — \(11x\) см. Периметр прямоугольника:
\(2(x + 11x) = 24x = 216 \implies x = 9\) см.
Площадь: \(x \cdot 11x = 9 \cdot 99 = 891\) см².
Ответ: 891 см².
- Илья выпил \( \frac{3}{11} \) стакана молока, Варя — \( \frac{5}{11} \). Вместе они выпили 312 мл молока. Сколько мл молока было в стакане изначально? Сколько молока осталось в стакане?
Решение: Суммарно выпито \(\frac{8}{11}\) стакана:
\(\frac{8}{11} \cdot V = 312 \implies V = 312 \cdot \frac{11}{8} = 429\) мл.
Остаток: \(429 - 312 = 117\) мл.
Ответ: 429 мл; 117 мл.
- Вычислите значение выражения:
\[
\text{а)}\ 36 \cdot 35 - 35 \cdot 34 + 34 \cdot 33 - 33 \cdot 32 + \dots + 26 \cdot 25 - 25 \cdot 24
\]
Решение: Группируем попарно:
\(35(36 - 34) + 33(34 - 32) + \dots + 25(26 - 24) = 2(35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25) = 2 \cdot 180 = 360\).
Ответ: 360.
\[ \text{б)}\ \text{НОК}(24,18) + \text{НОК}(18,15) + \text{НОК}(15,24) \] Решение:
\(\text{НОК}(24,18) = 72\); \(\text{НОК}(18,15) = 90\); \(\text{НОК}(15,24) = 120\).
Сумма: \(72 + 90 + 120 = 282\).
Ответ: 282.
- Вычислите значение выражения:
\[
\text{а)}\ 91{,}53 : (9{,}96 − 1{,}86) − 41{,}6 :13
\]
Решение:
\(9{,}96 - 1{,}86 = 8{,}1\); \(91{,}53 : 8{,}1 = 11{,}3\); \(41{,}6 :13 = 3{,}2\).
\(11{,}3 - 3{,}2 = 8{,}1\).
Ответ: 8,1.
- Развёрнутый угол \( \angle MNK \) разделён лучами \(NP\) и \(NL\) на три угла: \( \angle MNP \) в четыре раза меньше угла \( \angle PNL \), и в семь раз меньше угла \( \angle LNK \). Найдите градусную меру углов \( \angle PNK \), \( \angle PNL \) и \( \angle LNK \).
Решение: Пусть \(\angle MNP = x\), тогда \(\angle PNL = 4x\), \(\angle LNK = 7x\).
\(x + 4x + 7x = 180^\circ \implies x = 15^\circ\).
\(\angle PNK = 4x + 7x = 165^\circ\); \(\angle PNL = 60^\circ\); \(\angle LNK = 105^\circ\).
Ответ: \(165^\circ\), \(60^\circ\), \(105^\circ\).
- Объём аквариума 1001 см³, глубина 11 см, одна из сторон основания — 7 см. Найти периметр дна и суммарную площадь боковых стенок.
Решение: Ширина основания: \(1001 = 7 \cdot 11 \cdot a \implies a = 13\) см.
Периметр дна: \(2(7 + 13) = 40\) см.
Площадь боковых стенок: \(2(7 \cdot 11) + 2(13 \cdot 11) = 440\) см².
Ответ: 40 см; 440 см².
- Таракан Валентин считает, что в метре 60 см, а в минуте 100 секунд. Его скорость 125 м/мин. Реальная скорость:
Решение: \(125 \cdot 60 \, \text{см}/100 \, \text{сек} = 75 \, \text{см/сек} = 0{,}75 \cdot 60 = 45 \, \text{м/мин}\).
Ответ: 45 м/мин.
- Начальное количество кубиков \(x\):
\(5\left(\frac{2x + 1}{3} - 1\right) + 1 = 11 \implies x = 4\).
Ответ: 4 кубика.
- В кувшинах изначально по 150 мл. После переливаний:
Первый кувшин: \(150 - 60 + 84 = 174\) мл.
Второй кувшин: \(150 + 60 - 84 = 126\) мл.
Разница: \(174 - 126 = 48\) мл.
Ответ: в первом больше на 48 мл.
- Трёхзначное число \(ABC\):
\(9000 + ABC \cdot 10 + ABC \cdot 10 + 7 = 17719 \implies ABC = 792\).
Ответ: 792.
- Совместная скорость Максима, Сергея и Андрея:
\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{8}\) пачки/мин.
Время для 3 пачек: \(3 : \frac{3}{8} = 8\) минут.
Ответ: 8 минут.
Материалы школы Юайти