Школа № 2007 ФМШ из 5 в 6 класс 2020 год вариант 1
Печать
youit.school ©
ШКОЛА № 2007
2020
06.06.2020
- 15 детей играло в снежки. Каждый из детей попал снежком в двух или четырёх других.
Могло ли оказаться, что в каждого попало ровно 3 или 5 снежков?
- На олимпиаду по астрономии пришли ученики четырёх классов одной школы: 5А, 5Б, 6А и 6Б.
Из каждого класса пришло по 20 человек. Оказалось, что из пятых классов мальчиков пришло в три раза больше, чем девочек,
а из «А»-классов, наоборот, девочек оказалось в три раза больше, чем мальчиков.
Сколько мальчиков из 5Б класса пришло на олимпиаду?
- Через первый кран в цистерну наливается 10 литров воды за 4 минуты,
через второй — 14 литров за 5 минут. В дне цистерны есть дыра, через которую вытекает 7 литров за 6 минут.
За какое время в пустую цистерну наберётся 31 литр воды? Ответ дать в целых единицах времени.
- Бабушка с внуком шли в кино. Когда до начала сеанса оставалось 40 минут,
внук решил побежать вперёд, чтобы купить билеты. Купив билеты, он успел вернуться к бабушке за 25 минут до начала сеанса.
Известно, что бабушка идёт со скоростью 3 км/ч, а внук бегает со скоростью 5 км/ч.
Считая, что покупка билетов в кассе не занимает времени, ответьте:
За сколько минут до начала сеанса внук купил билеты?
За сколько минут и на сколько метров бабушка дойдёт до кинотеатра?
- Можно ли квадрат клетчатой бумаги размером \(10 \times 10\) разрезать на фигурки, изображённые на рисунке?
- В правительстве 24 депутата, они представляют 4 партии. Докажите, что найдётся партия, в которой есть не менее 6 депутатов, и найдётся партия, в которой не более 6 депутатов.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- 15 детей играло в снежки. Каждый из детей попал снежком в двух или четырёх других. Могло ли оказаться, что в каждого попало ровно 3 или 5 снежков?
Решение: Представим игру в виде графа, где дети — вершины, а попадания — рёбра. Сумма степеней вершин должна быть чётной (каждое ребро учитывается дважды). Если у всех 15 детей степень 3 или 5, сумма степеней будет $15 \cdot 3 = 45$ или $15 \cdot 5 = 75$, что нечётно. Это противоречит условию чётности суммы степеней.
Ответ: Нет. - На олимпиаду по астрономии пришли ученики четырёх классов: 5А, 5Б, 6А, 6Б (по 20 человек из каждого). Из пятых классов мальчиков в 3 раза больше девочек, а в «А»-классах девочек в 3 раза больше мальчиков. Сколько мальчиков из 5Б пришло?
Решение:- В пятых классах (5А + 5Б) всего 40 человек. Пусть девочек $x$, тогда мальчиков $3x$: $x + 3x = 40 \Rightarrow x = 10$. Мальчиков в пятых классах: $3 \cdot 10 = 30$.
- В «А»-классах (5А + 6А) всего 40 человек. Пусть мальчиков $y$, тогда девочек $3y$: $y + 3y = 40 \Rightarrow y = 10$. Мальчиков в «А»-классах: 10 (все в 5А, так как 6А не может иметь отрицательных значений).
Ответ: 20. - Через первый кран в цистерну наливается 10 л/4 мин = 2,5 л/мин, через второй — 14 л/5 мин = 2,8 л/мин. Утечка: 7 л/6 мин ≈ 1,1667 л/мин. Чистый приток: $2,5 + 2,8 - 1,1667 ≈ 4,1333$ л/мин. Время для 31 л: $31 / 4,1333 ≈ 7,5$ мин. Округляем до целых: 8 минут (учтено постепенное накопление).
Ответ: 8 минут. - Бабушка (3 км/ч) и внук (5 км/ч). Внук потратил 15 минут (0,25 ч) на путь туда-обратно. Пусть расстояние до кассы $S$: $2S = 5 \cdot 0,25 \Rightarrow S = 0,625$ км. Время до покупки: $0,625 / 5 = 0,125$ ч = 7,5 мин. До начала оставалось: $40 - 7,5 = 32,5$ мин ≈ 33 мин. Бабушка за 15 мин прошла $3 \cdot 0,25 = 0,75$ км. Оставшийся путь: $0,625 - 0,75 = -0,125$ км (встреча произошла до кинотеатра). Полный путь бабушки: $0,625$ км = 625 м, время: $0,625 / 3 \approx 0,2083$ ч = 12,5 мин.
Ответ: Билеты куплены за 33 мин до начала; бабушка дойдёт за 13 мин, пройдя 625 м. - Квадрат $10 \times 10$ (100 клеток) разрезать на фигурки из 3 клеток. Так как $100$ не делится на $3$, это невозможно.
Ответ: Нет. - Доказать для 24 депутатов и 4 партий:
- Если бы все партии имели $\leq 5$ депутатов: $4 \cdot 5 = 20 < 24$. Значит, есть партия с $\geq 6$.
- Если бы все партии имели $\geq 7$ депутатов: $4 \cdot 7 = 28 > 24$. Значит, есть партия с $\leq 6$.
Материалы школы Юайти