Школа № 2007 ФМШ из 4 в 5 класс 2021 год вариант 2

ШКОЛА № 2007

2021 год

Вариант 2

1. Составьте пример. Вычитаемое в 4 раза меньше разности, а уменьшаемое на 20 больше вычитаемое.
   
   
2. Два поезда: торговый и скорый. Скорость торгового — 150 км/ч, скорость скорого поезда — 120 км/ч. Груз — 200 000 кг. Объём торгового поезда — 40 000 кг, скорого — 50 000 кг. Расстояние $S = 3000$ км. Кто быстрее перевезёт груз? Время?
   
   
3. Чтобы сложить прямоугольник $3 \times 2$, понадобилось 17 палочек.
   
   \[ \_ \quad \_ \\ | \_ | \_ | \\ | \_ | \_ | \\ | \_ | \_ | \]
   
   Сколько понадобится палочек, чтобы сложить прямоугольник $20 \times 17$?
   
   
4. Слава, Настя и Витя надувают шарики. Сначала Слава надул $ \frac{1}{4} $ и ещё 3 шарика. Потом к нему присоединилась Настя, и они вместе надули половину оставшихся шариков. Далее к ним присоединился Витя, и они вместе надули остальные шарики. Надувают шарики все с одинаковой скоростью. Витя надул 14 шариков. Сколько шариков надула Настя, Слава и все вместе?
   
   
5. Логическая задача: очень много описания по типу — 4 футболиста, их папы такие, глаза у них такие, любят такие-то напитки, болеют за такие-то команды. Определить, кто в какой команде.
   
   
6. Геракл отрубает головы гидре. Он может отрубить 17, 14 и 4.
   • Когда он отрубает 17 голов — вырастают новые 14.
   • Когда 4 головы — вырастают новые 13.
   • Когда 14 голов — вырастают новые 8.
   У гидры сейчас 187 голов. Когда остаются последние 17, 14 или 4 головы, и он отрубает их последние — то новые не вырастают.
   Может ли Геракл победить её? Если да, то приведите пример, если нет — то объясните почему.

Решения задач

1. Составьте пример. Вычитаемое в 4 раза меньше разности, а уменьшаемое на 20 больше вычитаемого.
   Решение: Пусть вычитаемое равно $x$, тогда разность равна $4x$. Уменьшаемое равно $x + 4x = 5x$. По условию уменьшаемое на 20 больше вычитаемого:
   $5x = x + 20$
   $4x = 20 \quad \Rightarrow \quad x = 5$
   Уменьшаемое: $5x = 25$, вычитаемое: $x = 5$, разность: $4x = 20$.
   Пример: $25 - 5 = 20$.
   Ответ: $25 - 5 = 20$.
   
   
2. Два поезда: торговый и скорый. Скорость торгового — 150 км/ч, скорость скорого поезда — 120 км/ч. Груз — 200 000 кг. Объём торгового поезда — 40 000 кг, скорого — 50 000 кг. Расстояние $S = 3000$ км. Кто быстрее перевезёт груз? Время?
   Решение: Для торгового поезда:
   Количество рейсов: $\frac{200000}{40000} = 5$.
   Время одного рейса (туда и обратно): $\frac{3000}{150} \cdot 2 = 40$ часов.
   Общее время: $5 \cdot 40 = 200$ часов.
   Для скорого поезда:
   Количество рейсов: $\frac{200000}{50000} = 4$.
   Время одного рейса: $\frac{3000}{120} \cdot 2 = 50$ часов.
   Общее время: $4 \cdot 50 = 200$ часов.
   Ответ: Оба поезда перевезут груз за 200 часов.
   
   
3. Чтобы сложить прямоугольник $3 \times 2$, понадобилось 17 палочек. Сколько понадобится палочек, чтобы сложить прямоугольник $20 \times 17$?
   Решение: Для прямоугольника $m \times n$ количество палочек:
   Горизонтальные: $(m + 1) \cdot n$
   Вертикальные: $m \cdot (n + 1)$
   Общее количество: $(m + 1) \cdot n + m \cdot (n + 1) = 2mn + m + n$.
   Для $20 \times 17$:
   $2 \cdot 20 \cdot 17 + 20 + 17 = 680 + 37 = 717$.
   Ответ: 717 палочек.
   
   
4. Слава, Настя и Витя надувают шарики. Сначала Слава надул $ \frac{1}{4} $ и ещё 3 шарика. Потом к нему присоединилась Настя, и они вместе надули половину оставшихся шариков. Далее к ним присоединился Витя, и они вместе надули остальные шарики. Витя надул 14 шариков. Сколько шариков надула Настя, Слава и все вместе?
   Решение: Пусть всего шариков $S$.
   Слава надул: $\frac{S}{4} + 3$.
   Осталось: $S - \left(\frac{S}{4} + 3\right) = \frac{3S}{4} - 3$.
   Слава и Настя надули: $\frac{1}{2} \left(\frac{3S}{4} - 3\right) = \frac{3S}{8} - 1,5$.
   Осталось: $\frac{3S}{8} - 1,5 = 14$ (надул Витя).
   $\frac{3S}{8} = 15,5 \quad \Rightarrow \quad S = \frac{15,5 \cdot 8}{3} = \frac{124}{3} \approx 41,33$ — противоречие. Уточнение:
   После этапа Славы осталось $R = \frac{3S}{4} - 3$.
   Слава и Настя надули $\frac{R}{2}$, осталось $\frac{R}{2} = 14 \quad \Rightarrow \quad R = 28$.
   $\frac{3S}{4} - 3 = 28 \quad \Rightarrow \quad \frac{3S}{4} = 31 \quad \Rightarrow \quad S = \frac{124}{3}$.
   Учитывая целочисленность, вероятно, $S = 56$:
   Слава: $\frac{56}{4} + 3 = 17$.
   Осталось: $56 - 17 = 39$.
   Слава и Настя: $\frac{39}{2} = 19,5$ — округляем до 20, остаток 19.
   Витя: 19 (но по условию 14). Неточность в условии.
   Ответ: Невозможно определить из-за противоречия в данных.
   
   
5. Логическая задача: 4 футболиста, их папы, глаза, напитки, команды. Определить соответствия.
   Решение: Стандартная логическая задача требует построения таблицы признаков и последовательного исключения вариантов. Без конкретных данных решение невозможно. Примерный алгоритм:
   • Составить таблицу с игроками и признаками.
   • Использовать подсказки для исключения невозможных комбинаций.
   • Заполнить оставшиеся ячейки однозначно.
   Ответ: Требуется конкретизация условий задачи.
   
   
6. Геракл отрубает головы гидре. Может ли Геракл победить её?
   Решение: Анализ изменения количества голов:
   • Отрубание 17 голов: $+14 -17 = -3$.
   • Отрубание 14 голов: $+8 -14 = -6$.
   • Отрубание 4 голов: $+13 -4 = +9$ (невыгодно).
   Используем операции с отрицательным балансом:
   Начнем с 187. Последовательно применяем отрубание 17 или 14 голов:
   $187 \xrightarrow{-3} 184 \xrightarrow{-3} 181 \xrightarrow{-3} \dots$
   Дойдем до 17 голов, которые можно отрубить без роста.
   Ответ: Да, Геракл может победить гидру, последовательно отрубая 17 или 14 голов.