Школа № 2007 ФМШ из 4 в 5 класс 2020 год вариант 1-3

ШКОЛА № 2007

2020 год

1. Расставьте числа 5, 6, 7, 8, 10, 11 в кружочки так, чтобы сумма чисел на каждой стороне была равна 23.
   
   
   
2. Расставьте числа 1, 2, 4, 5, 8, 6 в кружочки так, чтобы сумма чисел на каждой стороне была равна 11.
   
   
   
3. Разрежьте фигуру по линиям сетки на три равные части.
   
   
   
4. Разрежьте фигуру по линиям сетки на три равные части.
   
   
   
5. У Пети в коробке жуки и пауки. В общей сложности 8 голов и 56 ног. Сколько жуков и сколько пауков в загоне?
   
   
6. У моста через речку встретились лодырь и чёрт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ чёрт предложил: «Я могу помочь тебе. Всякий раз, как ты перейдёшь этот волшебный мост, твои деньги утроятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 162 рублей». Трижды перешёл лодырь мост, а когда заглянул в кошелёк, там стало пусто. Сколько денег было у лодыря первоначально?
   
   
7. Используя цифры 1, 2, 3 и 6, знаки действий и скобки, получите 54. (Цифры можно объединять в одно число).
   
   
8. Используя цифры 3, 4, 6 и 9, знаки действий и скобки, получите 0. (Цифры можно объединять в одно число).
   
   
9. В Солнечном городе живут 25 коротышек. У каждого из них есть три воздушных шарика: красный, синий и жёлтый. Смогут ли они так поменяться шариками, чтобы у каждого все три шарика оказались одноцветными?
   
   
10. На доске написано равенство: \[ 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 20 \] (вместо символов «*» — в неизвестном порядке расставлены знаки «+» и «-»). Можно ли расставить знаки так, чтобы равенство было верным?

Решения задач

1. Расставьте числа 5, 6, 7, 8, 10, 11 в кружочки так, чтобы сумма чисел на каждой стороне была равна 23.
   
   Решение: Вершины треугольника: 10, 11, 8. Стороны:
   10 (верх) — 6 (лево) — 7 (право) = 23
   11 (право) — 5 (низ) — 7 (лево) = 23
   8 (лево) — 5 (низ) — 10 (верх) = 23
   Ответ: Вершины — 10, 11, 8; боковые числа — 6, 7, 5.
   
   
2. Расставьте числа 1, 2, 4, 5, 8, 6 в кружочки так, чтобы сумма чисел на каждой стороне была равна 11.
   
   Решение: Вершины треугольника: 8, 5, 4. Стороны:
   8 (верх) — 1 (лево) — 2 (право) = 11
   5 (право) — 2 (низ) — 4 (лево) = 11
   4 (лево) — 6 (низ) — 1 (верх) = 11
   Ответ: Вершины — 8, 5, 4; боковые числа — 1, 2, 6.
   
   
3. Разрежьте фигуру по линиям сетки на три равные части.
   
   Решение: Фигура состоит из 12 клеток. Каждая часть — 4 клетки. Разрезы по вертикальным линиям:
   1-я часть: левые 4 клетки (1×4)
   2-я часть: средние 4 клетки (1×4)
   3-я часть: правые 4 клетки (1×4)
   Ответ: Три вертикальных прямоугольника 1×4.
   
   
4. Разрежьте фигуру по линиям сетки на три равные части.
   
   Решение: Фигура состоит из 9 клеток. Каждая часть — 3 клетки. Разрезы:
   1-я часть: верхние 3 клетки (горизонтальный ряд)
   2-я часть: средние 3 клетки (горизонтальный ряд)
   3-я часть: нижние 3 клетки (горизонтальный ряд)
   Ответ: Три горизонтальных полосы 3×1.
   
   
5. У Пети в коробке жуки и пауки. В общей сложности 8 голов и 56 ног. Сколько жуков и сколько пауков в загоне?
   Решение: Пусть жуков — x, пауков — y:
   $\begin{cases} x + y = 8 \\ 6x + 8y = 56 \end{cases}$
   Решение:
   $6(8 - y) + 8y = 56 \Rightarrow 48 - 6y + 8y = 56 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4$
   $x = 8 - 4 = 4$
   Ответ: 4 жука и 4 паука.
   
   
6. У моста через речку встретились лодырь и чёрт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ чёрт предложил: «Я могу помочь тебе. Всякий раз, как ты перейдёшь этот волшебный мост, твои деньги утроятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 162 рублей». Трижды перешёл лодырь мост, а когда заглянул в кошелёк, там стало пусто. Сколько денег было у лодыря первоначально?
   Решение: Пусть изначально было S рублей:
   1 переход: $3S - 162$
   2 переход: $3(3S - 162) - 162 = 9S - 648$
   3 переход: $3(9S - 648) - 162 = 27S - 2106 = 0$
   $27S = 2106 \Rightarrow S = 78$
   Ответ: 78 рублей.
   
   
7. Используя цифры 1, 2, 3 и 6, знаки действий и скобки, получите 54. (Цифры можно объединять в одно число).
   Решение: $6 \times (3 \times (2 + 1)) = 6 \times 9 = 54$
   Ответ: $6 \times (3 \times (2 + 1)) = 54$.
   
   
8. Используя цифры 3, 4, 6 и 9, знаки действий и скобки, получите 0. (Цифры можно объединять в одно число).
   Решение: $(9 - 6 - 3) \times 4 = 0 \times 4 = 0$
   Ответ: $(9 - 6 - 3) \times 4 = 0$.
   
   
9. В Солнечном городе живут 25 коротышек. У каждого из них есть три воздушных шарика: красный, синий и жёлтый. Смогут ли они так поменяться шариками, чтобы у каждого все три шарика оказались одноцветными?
   Решение: Нет. Всего шаров каждого цвета по 25. Для одноцветных наборов требуется $25 \times 3 = 75$ шаров одного цвета, но их всего 25.
   Ответ: Невозможно.
   
   
10. На доске написано равенство: \[ 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 20 \] Можно ли расставить знаки так, чтобы равенство было верным?
    Решение: Сумма чисел от 1 до 9 равна 45. Для получения 20 нужно, чтобы $S - (45 - S) = 20 \Rightarrow 2S = 65$, что невозможно.
    Ответ: Нет.