Школа № 2007 ФМШ из 4 в 5 класс 2020 год вариант 1-2

ШКОЛА № 2007

2020 год

1. При постройке забора плотники поставили по прямой 10 столбов, расстояние между которыми было по 2 м. Какова длина забора?
   
   
2. На доске было написано равенство. После того как дежурный по классу успел стереть некоторые цифры (сколько цифр он стер – неизвестно) на доске осталось: 1127…173 · 1017…565 = 1126…745.
   Могло ли исходное равенство быть верным?
   
   
3. Вычислите: 1321 + 1322 + 1323 + 1324 + 1325 + 1326 + 1327 + 1328 + 1329.
   
   
4. Периметр квадрата равен 24 см. Каковы могут быть стороны прямоугольника, выраженные целыми числами, если его площадь равна площади квадрата?
   
   
5. Показания трёх подозреваемых по делу противоречат друг другу, причём Смит обвиняет во лжи Брауна, Браун — Джонса, а Джонс говорит, что не следует верить ни Брауну, ни Смиту. Кого бы Вы, будучи следователем, допросили первым?

1. Условие. По прямой поставили 10 столбов, расстояние между соседними столбами равно 2 м. Найти длину забора.
   Дано. Столбов $10$, расстояние между соседними столбами $2$ м.
   Решение. Между 10 столбами получается $10-1=9$ промежутков. Каждый промежуток длиной 2 м, значит длина забора равна $9\cdot 2=18$ м.
   Ответ. $18$ м.
2. Задача. На доске осталось равенство $1127\ldots173 \cdot 1017\ldots565 = 1126\ldots745$. Могло ли исходное равенство быть верным?
   Решение. Число $1127\ldots173$ начинается с 1127, значит оно не меньше числа вида $1127\,000\ldots0$ (если вместо стёртых цифр поставить нули) и меньше числа вида $1128\,000\ldots0$ (иначе первые четыре цифры уже были бы 1128). Поэтому $1127\,000\ldots0 \le 1127\ldots173 < 1128\,000\ldots0$. Аналогично $1017\,000\ldots0 \le 1017\ldots565 < 1018\,000\ldots0$. Тогда произведение не меньше числа $1146159\,000\ldots0$ и меньше числа $1148304\,000\ldots0$, так как $1127\cdot 1017=1146159$, $1128\cdot 1018=1148304$. Значит, произведение обязательно начинается на 1146, 1147 или 1148, а число справа начинается на 1126, поэтому равенство верным быть не могло.
   Ответ. Нет, исходное равенство не могло быть верным.
3. Задача. Вычислить сумму $1321 + 1322 + 1323 + 1324 + 1325 + 1326 + 1327 + 1328 + 1329$.
   Решение. Сложим попарно крайние числа: $1321+1329=2650$, $1322+1328=2650$, $1323+1327=2650$, $1324+1326=2650$. Получилось 4 одинаковые суммы по 2650 и ещё среднее число 1325. Тогда $4\cdot 2650=10600$, $10600+1325=11925$.
   Ответ. $11925$.
4. Условие. Периметр квадрата равен 24 см. Найти целочисленные стороны прямоугольника, если его площадь равна площади этого квадрата.
   Дано. Периметр квадрата $P=24$ см.
   Решение. У квадрата все стороны равны, поэтому его сторона равна $24:4=6$ см. Площадь квадрата равна $6\cdot 6=36$ см$^2$. Значит, у прямоугольника произведение сторон тоже равно 36, а стороны должны быть целыми числами. Все пары целых делителей числа 36: $1$ и $36$, $2$ и $18$, $3$ и $12$, $4$ и $9$, $6$ и $6$.
   Ответ. Возможные стороны прямоугольника (в см): $1$ и $36$, $2$ и $18$, $3$ и $12$, $4$ и $9$, $6$ и $6$.
5. Задача. Смит говорит, что Браун лжёт; Браун говорит, что Джонс лжёт; Джонс говорит, что не следует верить ни Брауну, ни Смиту. Кого допросить первым?
   Решение. Допустим, Смит сказал правду. Тогда Браун лжёт. Но если Браун лжёт, то его слова «Джонс лжёт» неверны, значит Джонс говорит правду. Тогда правдивый Джонс утверждает, что лгут и Браун, и Смит, то есть Смит лжёт, получается противоречие. Значит, Смит лжёт. Тогда Браун говорит правду, а из его слов следует, что Джонс лжёт. Поэтому единственный, чьим словам можно верить, это Браун.
   Ответ. Первым стоит допросить Брауна.