Школа № 2007 ФМШ из 4 в 5 класс 2020 год вариант 1-2

ШКОЛА № 2007

2020 год

1. При постройке забора плотники поставили по прямой 10 столбов, расстояние между которыми было по 2 м. Какова длина забора?
   
   
2. На доске было написано равенство. После того как дежурный по классу успел стереть некоторые цифры (сколько цифр он стер – неизвестно) на доске осталось: 1127…173 · 1017…565 = 1126…745.
   Могло ли исходное равенство быть верным?
   
   
3. Вычислите: 1321 + 1322 + 1323 + 1324 + 1325 + 1326 + 1327 + 1328 + 1329.
   
   
4. Периметр квадрата равен 24 см. Каковы могут быть стороны прямоугольника, выраженные целыми числами, если его площадь равна площади квадрата?
   
   
5. Показания трёх подозреваемых по делу противоречат друг другу, причём Смит обвиняет во лжи Брауна, Браун — Джонса, а Джонс говорит, что не следует верить ни Брауну, ни Смиту. Кого бы Вы, будучи следователем, допросили первым?

Решения задач

1. При постройке забора плотники поставили по прямой 10 столбов, расстояние между которыми было по 2 м. Какова длина забора?
   Решение: Между 10 столбами образуется 9 промежутков. Каждый промежуток равен 2 м. Тогда длина забора:
   $9 \cdot 2 = 18$ (м).
   Ответ: 18 м.
   
   
2. На доске было написано равенство. После того как дежурный по классу успел стереть некоторые цифры (сколько цифр он стер – неизвестно) на доске осталось: 1127…173 · 1017…565 = 1126…745.
   Могло ли исходное равенство быть верным?
   Решение: Проверим последние цифры множителей и результата. Последняя цифра первого множителя — 3, второго — 5. Их произведение должно оканчиваться на 5 (3 · 5 = 15). В правой части число оканчивается на 5, что соответствует. Также проверим по модулю 9: сумма цифр левой и правой частей должна совпадать по остатку при делении на 9. Однако без точного количества стёртых цифр проверить это невозможно. Учитывая совпадение последней цифры, исходное равенство могло быть верным.
   Ответ: Да, могло.
   
   
3. Вычислите: 1321 + 1322 + 1323 + 1324 + 1325 + 1326 + 1327 + 1328 + 1329.
   Решение: Это последовательные числа, образующие арифметическую прогрессию. Количество членов — 9, среднее арифметическое: $\frac{1321 + 1329}{2} = 1325$. Сумма:
   $1325 \cdot 9 = 11925$.
   Ответ: 11925.
   
   
4. Периметр квадрата равен 24 см. Каковы могут быть стороны прямоугольника, выраженные целыми числами, если его площадь равна площади квадрата?
   Решение: Сторона квадрата: $\frac{24}{4} = 6$ см. Площадь квадрата: $6^2 = 36$ см². Площадь прямоугольника: $a \cdot b = 36$. Возможные пары целых чисел:
   $(1, 36),\ (2, 18),\ (3, 12),\ (4, 9),\ (6, 6)$. Исключим квадрат (6,6). Ответ: $(1, 36),\ (2, 18),\ (3, 12),\ (4, 9)$.
   Ответ: 1 см и 36 см; 2 см и 18 см; 3 см и 12 см; 4 см и 9 см.
   
   
5. Показания трёх подозреваемых по делу противоречат друг другу, причём Смит обвиняет во лжи Брауна, Браун — Джонса, а Джонс говорит, что не следует верить ни Брауну, ни Смиту. Кого бы Вы, будучи следователем, допросили первым?
   Решение: Если все лгут, то: - Смит лжёт → Браун не лжёт (противоречие, так как Браун должен лгать). Если Джонс говорит правду, то и Смит, и Браун лгут: - Смит лжёт → Браун не лжёт (но Браун лжёт по условию). Это создаёт противоречие, значит, первым следует допросить Джонса, так как его показания затрагивают обоих подозреваемых и помогут выявить ложь.
   Ответ: Джонса.