Школа № 179 из 6 в 7 класс 2025 год вариант 2

ГИМНАЗИЯ №1567

2025 год

28.03.2025

Вариант 2

1. ($1$ балл) Решите уравнение \[ 2{,}25:\left(\dfrac{6x-1{,}1}{1{,}2}-\dfrac{2}{3}\right)=9. \]
2. ($2$ балла) Тимур играет с тремя квадратами разных размеров. Известно, что самый маленький имеет сторону в два раза меньше, чем средний. Сначала он сложил квадраты друг на друга, как на рисунке слева, и серая площадь оказалась равной $16$. А потом он их сложил, как на рисунке справа, и она оказалась равной $36$. Чему равна площадь самого большого квадрата?
   
3. ($2$ балла) Руслан очень любит географию. Он посчитал, что длина рек Дунай относится к длине Днепра как $19/3:5$, а длина Дона относится к длине Дуная как $6{,}5:9{,}5$. Найдите протяжённость каждой из рек, если Днепр длиннее Дона на $300$ км. В ответ запишите сумму всех длин рек.
4. ($2$ балла) Перед Новым годом Департамент образования провёл опрос среди $9$-классников математических школ. Были опрошены $2025$ учеников, и выяснилось, что каждый из них дополнительно занимается физикой или информатикой (возможно, что и тем, и другим). Информатикой занимаются от $70\%$ до $85\%$ от общего числа опрошенных, а обе дисциплины учат от $5\%$ до $8\%$. Найдите наибольшее возможное число школьников, которые занимаются физикой.
5. ($2$ балла) Решите уравнение. Если решений несколько, то в ответ запишите их сумму. \[ \left|\left(|x-1|+2\right)-3\right|=1. \]
6. ($3$ балла) Евгений Васильевич заставляет юных инженеров на физкультуре бегать (и прыгать, и отжиматься!). Колонна из учеников $10\text{И}$ растянулась на $1$ км и бежит со скоростью $10$ км/ч, а идёт им навстречу со скоростью $5$ км/ч. Добежав до конца, Евгений Васильевич развернулся и пошёл обратно; колонна развернулась и бежит назад с той же скоростью $10$ км/ч. Какова будет длина колонны, когда все юные инженеры развернутся?
7. ($3$ балла) Три команды собрались участвовать в эстафете. Перед началом игры Игнат перешёл из первой команды во вторую, Макар — из второй команды в третью, а Казимир — из третьей в первую. В результате средний возраст первой команды увеличился на $6$ лет, второй — на две недели, а третий — не изменился. Через некоторое время тренер узнал, что в первой и во второй командах было по $12$ человек. Сколько человек было в третьей команде?

Решения задач

1. Решите уравнение \[ 2{,}25:\left(\dfrac{6x-1{,}1}{1{,}2}-\dfrac{2}{3}\right)=9. \] Решение: Упростим уравнение пошагово: \[ 2{,}25 : \left(\dfrac{6x - 1{,}1}{1{,}2} - \dfrac{2}{3}\right) = 9 \] \[ \dfrac{2{,}25}{\dfrac{6x - 1{,}1}{1{,}2} - \dfrac{2}{3}} = 9 \] Выразим знаменатель: \[ \dfrac{6x - 1{,}1}{1{,}2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{2{,}25}{9} = 0{,}25 \] Решим уравнение: \[ \dfrac{6x - 1{,}1}{1{,}2} = 0{,}25 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{11}{12} \] \[ 6x - 1{,}1 = \dfrac{11}{12} \cdot 1{,}2 = 1{,}1 \] \[ 6x = 2{,}2 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{2{,}2}{6} = \dfrac{11}{30} \] Ответ: $\boxed{\dfrac{11}{30}}$.
2. Тимур играет с тремя квадратами. Первая серая площадь 16, вторая 36. Найдите площадь наибольшего квадрата. Решение: Пусть $a$ — сторона среднего квадрата, тогда сторона малого — $a/2$. Разница их площадей: \[ a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{3a^2}{4} = 16 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \dfrac{64}{3} \] Во втором случае площадь серой части равна разнице большого и среднего квадратов: \[ L^2 - a^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad L^2 = \dfrac{64}{3} + 36 = \dfrac{172}{3} \] Ответ: $\boxed{\dfrac{172}{3}}$.
3. Длина рек: Дунай к Днепру как $19/3:5$, Дон к Дунаю как $6{,}5:9{,}5$. Днепр на $300$ км длиннее Дона. Найдите сумму длин рек. Решение: Дунай: $19k$, Днепр: $15k$. Дон: $\dfrac{13}{19} \cdot 19k = 13k$. Днепр длиннее Дона на $2k = 300$ км $\Rightarrow k = 150$. \[ 19k + 15k + 13k = 47k = 47 \cdot 150 = 7050\ \text{км} \] Ответ: $\boxed{7050}$.
4. Из $2025$ учеников максимум занимаются физикой. Решение: Максимизируем физиков: минимум информатиков ($1417{,}5$) и максимум общих ($162$): \[ Ф = 2025 - 1417{,}5 + 162 = 769{,}5 \quad \Rightarrow \quad 769\ \text{человек} \] Ответ: $\boxed{769}$.
5. Решите уравнение $\left|\left(|x-1|+2\right)-3\right|=1$. Решение: Упростим: \[ ||x-1| - 1| = 1 \quad \Rightarrow \quad |x-1| = 0, 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1, 3, -1 \] Сумма корней: $-1+1+3=3$. Ответ: $\boxed{3}$.
6. Колонна длиной $1$ км после разворота всех юных инженеров. Решение: Скорость сближения: $15$ км/ч. Время до встречи: $4$ мин. При развороте длина колонны остается $1$ км. Ответ: $\boxed{1}$ км.
7. В третьей команде было $6$ человек. Решение: Составив систему уравнений для возрастов и решений, находим, что количество человек в третьей команде $\boxed{6}$.