Школа № 179 из 6 в 7 класс 2025 год вариант 1

Школа №179

2025 год

28.03.2025

Вариант 1

1. ($1$ балл) Решите уравнение \[ 4{,}9-(3x-5)\cdot 2{,}5=\dfrac{3}{5}\cdot(3-10x). \]
2. ($2$ балла) Поликарп и Авдотий готовятся к поступлению в $179$ школу и прорешивают сборник уравнений. Известно, что Поликарп может прорешать весь сборник за $4$ часа, а Авдотий всего за $2$ часа. Они начали одновременно решать и через некоторое время остановились. Оказалось, что Поликарпу осталось решить в три раза больше, чем Авдотию. Сколько времени в минутах ребята решали?
3. ($2$ балла) На этом рисунке вы видите несколько прямоугольников. Сумма всех их площадей равна $179$. А чему равна площадь самого большого прямоугольника?
   
4. ($2$ балла) На Международную Конференцию по астрономии отправляется делегация из старшеклассников и студентов (в том числе Ваня), а также их учителей и руководителей. Средний возраст школьников и студентов на момент начала Конференции составит $22$ года, а учителей и руководителей — $47$ лет. При этом средний возраст всех членов делегации окажется равным $41$ году. Какова в этой делегации доля учителей и руководителей, выраженная в процентах?
5. ($2$ балла) Найдите среднее арифметическое трёх чисел, если первое число относится ко второму как $2:3$, а второе к третьему — как $2/3:1{,}6$, а сумма наибольшего и наименьшего чисел равна $46$.
6. ($3$ балла) Решите уравнение. Если решений несколько, то в ответ запишите их сумму. \[ \left|\dfrac{|x+1|-2}{3}\right|=\dfrac{1}{3}. \]
7. ($3$ балла) Варя и Денис — юные экономисты. Денис отнёс свои денежки в Гамма-Банк, который начисляет ежегодно $20\%$ (а Денис деньги из банка не забирает). Варя отнесла такую же сумму в Дельта-Банк, который в первый год начислил всего $15\%$, но пообещал, что на второй год поменяет банковскую ставку так, что к концу второго года у Вари будет денег на счету больше, чем у Дениса. Какова же будет эта ставка, если известно, что она выражается целым процентом и при этом наименьшая из всех возможных?

Решения задач

1. Решите уравнение \[ 4{,}9-(3x-5)\cdot 2{,}5=\dfrac{3}{5}\cdot(3-10x). \]
   Решение: \[ 4{,}9 - (3x - 5) \cdot 2{,}5 = 0{,}6 \cdot (3 - 10x) \] Умножим обе части на 10 для упрощения: \[ 49 - (3x - 5) \cdot 25 = 6 \cdot (3 - 10x) \] Раскроем скобки: \[ 49 - 75x + 125 = 18 - 60x \] Соберем подобные члены: \[ 174 - 75x = 18 - 60x \] Перенесем переменные: \[ -15x = -156 \implies x = 10{,}4 \] Ответ: $10{,}4$.
2. Поликарп и Авдотий готовятся к поступлению в $179$ школу и прорешивают сборник уравнений. Известно, что Поликарп может прорешать весь сборник за $4$ часа, а Авдотий всего за $2$ часа.
   Решение: Пусть время работы $t$ часов. Скорость Поликарпа: $\frac{1}{4}$, Авдотия: $\frac{1}{2}$ сборника в час. Остаток Поликарпа: $1 - \frac{t}{4}$, Авдотия: $1 - \frac{t}{2}$. По условию: \[ 1 - \frac{t}{4} = 3 \left(1 - \frac{t}{2}\right) \] Решим уравнение: \[ 1 - \frac{t}{4} = 3 - \frac{3t}{2} \implies -\frac{t}{4} + \frac{3t}{2} = 2 \implies \frac{5t}{4} = 2 \implies t = \frac{8}{5} \text{ ч} = 96 \text{ мин} \] Ответ: $96$ минут.
3. Сумма всех площадей прямоугольников равна $179$. Найти площадь самого большого.
   Решение: 4 прямоугольника образуют один самый большой прямоугольник, который равен сумме всех прямоуольников Ответ: $179$.
4. Средний возраст школьников и студентов — $22$ года, учителей — $47$ лет. Средний возраст делегации — $41$ год. Найти долю учителей.
   Решение: Пусть школьников $S$, учителей $T$. Средний возраст: \[ \frac{22S + 47T}{S + T} = 41 \implies 22S + 47T = 41(S + T) \] \[ 22S + 47T = 41S + 41T \implies 6T = 19S \implies \frac{S}{T} = \frac{6}{19} \] Доля учителей: \[ \frac{T}{S + T} = \frac{19}{25} = 76% \] Ответ: $76\%$.
5. Найти среднее арифметическое трёх чисел. Первое число относится ко второму как $2:3$, второе к третьему — как $\frac{2}{3}:1{,}6$.
   Решение: Пусть числа $a$, $b$, $c$. По условию: \[ \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \implies a = \frac{2}{3}b, \quad \frac{b}{c} = \frac{\frac{2}{3}}{1{,}6} = \frac{5}{12} \implies c = \frac{12}{5}b \] Сумма наибольшего и наименьшего: \[ \frac{2}{3}b + \frac{12}{5}b = 46 \implies \frac{46}{15}b = 46 \implies b = 15 \] Тогда $a = 10$, $c = 36$. Среднее: \[ \frac{10 + 15 + 36}{3} = \frac{61}{3} = 20\frac{1}{3} \] Ответ: $20\frac{1}{3}$.
6. Решите уравнение $\left|\dfrac{|x+1|-2}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$.
   Решение: \[ | |x + 1| - 2 | = 1 \] Рассмотрим случаи:
   1. $|x + 1| - 2 = 1 \implies |x + 1| = 3 \implies x = 2$ или $x = -4$
   2. $|x + 1| - 2 = -1 \implies |x + 1| = 1 \implies x = 0$ или $x = -2$
   Сумма корней: $2 - 4 + 0 - 2 = -4$. Ответ: $-4$.
7. 
   Задача. Варя и Денис — юные экономисты. Денис отнёс свои денежки в Гамма-Банк, который начисляет ежегодно $20\%$ (а Денис деньги из банка не забирает). Варя отнесла такую же сумму в Дельта-Банк, который в первый год начислил всего $15\%$, но пообещал, что на второй год поменяет банковскую ставку так, что к концу второго года у Вари будет денег на счету больше, чем у Дениса. Какова же будет эта ставка, если известно, что она выражается целым процентом и при этом наименьшая из всех возможных?
   Решение.
   Обозначим начальную сумму через $S$ рублей. Считаем, сколько будет у Дениса через два года. Каждый год банк даёт $20\%$: \[ S_D = S \cdot 1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44S. \] Теперь посчитаем, сколько будет у Вари. В первый год ей начислили $15\%$: \[ \text{через 1 год: } S \cdot 1{,}15. \] Пусть во второй год ставка равна $p\%$. Тогда \[ S_V = S \cdot 1{,}15 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right). \] По условию к концу второго года у Вари денег больше, чем у Дениса: \[ S \cdot 1{,}15 \left(1 + \frac{p}{100}\right) > S \cdot 1{,}44. \] Сократим на $S$: \[ 1{,}15 \left(1 + \frac{p}{100}\right) > 1{,}44. \] Разделим обе части неравенства на $1{,}15$: \[ 1 + \frac{p}{100} > \frac{1{,}44}{1{,}15} = \frac{144}{115}. \] Заметим, что \[ \frac{144}{115} = 1 + \frac{29}{115}, \] поэтому \[ 1 + \frac{p}{100} > 1 + \frac{29}{115} \quad\Rightarrow\quad \frac{p}{100} > \frac{29}{115}. \] Умножим на $100$: \[ p > \frac{2900}{115}. \] Посчитаем: \[ 115 \cdot 25 = 2875,\qquad 115 \cdot 26 = 2990, \] значит \[ 25 < \frac{2900}{115} 25. \] Так как $p$ — целое число и должно быть наименьшим возможным, получаем \[ p = 26. \] Ответ: ставка второго года равна $26\%$.