Школа № 179 из 6 в 7 класс 2025 год вариант 1
Печать
youit.school ©
Школа №179
2025 год
11.04.2025
Вариант 1
- ($1$ балл) Решите уравнение \[ 0{,}75\cdot\left(\dfrac{4}{3}x-4\right)-8\cdot\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{8}\right)=-5. \]
- ($2$ балла) Поликарп готовится к поступлению в $179$ школу и решает много задач с репетитором. В первую неделю репетитор выдал ему сборник задач. Поликарп каждую неделю решает из него по $125$ задач, а в конце недели репетитор смотрит, сколько задач ему ещё осталось решить, и добавляет к этому количеству ещё $25\%$ задач. К концу четвёртой недели Поликарп смог дорешать вообще все задачи, которые дал ему репетитор. Сколько задач было в сборнике?
- ($2$ балла) У Зои по алгебре стоит несколько оценок, все с коэффициентом $1$. Вадим Георгиевич очень строгий преподаватель. За итоговую работу по алгебре в $3$ четверти ставится оценка с коэффициентом $5$. В общем Зоя очень надеялась получить в полугодии оценку $5$, но её средний балл был бы $4{,}5$. Если бы Зоя пропустила эту контрольную, то её средний балл был бы $4{,}0$. Но Зоя написала контрольную на $5$. Сколько теперь оценок стоит у Зои по алгебре за $3$ четверть?
- ($2$ балла) Решите уравнение. Если решений несколько, то в ответ запишите их сумму.
\[
\left|\left||x-5|-5\right|-5\right|=5.
\]
- ($2$ балла) Решили как-то математик, биолог и географ сравнить свои зарплаты. Выяснили, что зарплата математика в два раза больше зарплаты географа, а зарплата биолога относится к зарплате географа как $13:9$. Математик же получает на $21$ тысячу рублей больше, чем их средняя зарплата. Найдите зарплату каждого преподавателя и в ответ запишите их сумму в тысячах рублей.
- ($3$ балла) Варя хочет стать архитектором, поэтому она умеет очень ровно чертить. Она начертила прямоугольник, потом разделила его на несколько прямоугольников поменьше, потом у некоторых маленьких прямоугольников измерила периметр и подписала рядом эти периметры. Варя считает, что этих данных хватит, чтобы узнать периметр изначального прямоугольника. Если вы согласны с ней, то найдите, чему он равен!
- ($3$ балла) В Летней инженерной школе Марк и Андрей смастерили машину, которая едет вперед на "Тархунe" с расходом топлива $3$ л/км, а назад – на "Дюшесе" с расходом топлива $5$ л/км. Они ее тестируют на даче у Крока и рулят по очереди. Сначала Марк проехал за рулём в двух направлениях $12$ км. Андрей ехал вперед вдвое меньше, чем Марк, а назад проехал вдвое больше, после чего имевшиеся $75$ литров топлива закончились. Сколько километров Марку и Андрею придется возвращаться на базу школы пешком?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение
\[
0{,}75\cdot\left(\dfrac{4}{3}x-4\right)-8\cdot\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{8}\right)=-5.
\]
Решение: \[ 0{,}75 \cdot \left(\dfrac{4}{3}x - 4\right) = 0{,}75 \cdot \dfrac{4}{3}x - 0{,}75 \cdot 4 = x - 3. \] \[ 8 \cdot \left(\dfrac{1}{4}x + \dfrac{3}{8}\right) = 2x + 3. \]
Уравнение примет вид: \[ (x - 3) - (2x + 3) = -5 \quad \Rightarrow \quad -x - 6 = -5 \quad \Rightarrow \quad x = -1. \]
Ответ: $-1$. - Задача.
Поликарп готовится к поступлению в 179 школу и решает много задач с репетитором. В первую неделю репетитор выдал ему сборник задач. Поликарп каждую неделю решает из него по 125 задач, а в конце недели репетитор смотрит, сколько задач ему ещё осталось решить, и добавляет к этому количеству ещё 25% задач. К концу четвертой недели Поликарп смог дорешать все задачи, которые дал ему репетитор. Сколько задач было в сборнике?
Решение.
Пусть в начале $k$-й недели у Поликарпа остаётся $S_k$ задач. К концу четвёртой недели он всё дорешал, значит \[ S_4 - 125 = 0 \quad\Rightarrow\quad S_4 = 125. \] После каждой предыдущей недели он решает 125 задач, остаётся $S_k - 125$ задач, и репетитор добавляет ещё 25% от этого количества, то есть четверть. Поэтому в начале следующей недели: \[ S_{k+1} = (S_k - 125) + \frac14 (S_k - 125) = \frac54 (S_k - 125). \] Тогда \[ S_k - 125 = \frac45 S_{k+1}, \quad S_k = 125 + \frac45 S_{k+1}. \] Считаем назад от четвёртой недели. Для третьей недели: \[ S_3 = 125 + \frac45\cdot 125 = 125 + 100 = 225. \] Для второй недели: \[ S_2 = 125 + \frac45\cdot 225 = 125 + 180 = 305. \] Для первой недели: \[ S_1 = 125 + \frac45\cdot 305 = 125 + 244 = 369. \] Значит, в сборнике было \[ 369 \] задач.
Ответ: 369 задач. - Задача.
У Зои по алгебре стоит несколько оценок, все с коэффициентом $1$. За итоговую работу по алгебре в $3$ четверти ставится оценка с коэффициентом $5$. В общем Зоя очень надеялась получить в полугодии оценку $5$, но её средний балл был бы $4{,}5$. Если бы Зоя пропустила эту контрольную, то её средний балл был бы $4{,}0$. Но Зоя написала контрольную на $5$. Сколько теперь оценок стоит у Зои по алгебре за $3$ четверть?
Решение.
Пусть у Зои до контрольной было $n$ обычных оценок (все с коэффициентом $1$). Если бы Зоя пропустила контрольную, её средний балл был бы $4{,}0$. Тогда \[ \frac{\text{сумма всех её оценок}}{n} = 4. \] Отсюда сумма всех её обычных оценок равна \[ \text{сумма оценок} = 4n. \] Контрольная с коэффициентом $5$ и оценкой $5$ означает, что она добавляет к сумме баллов как будто пять пятёрок: \[ 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25, \] то есть к сумме добавляется $25$ баллов, а к числу оценок (с учётом коэффициентов) добавляется ещё $5$. После контрольной: \[ \text{новая сумма баллов} = 4n + 25, \] \[ \text{новое количество оценок} = n + 5. \] По условию, если учитывать контрольную, средний балл был бы $4{,}5$, то есть \[ \frac{4n + 25}{n + 5} = 4{,}5 = \frac{9}{2}. \] Получили уравнение \[ \frac{4n + 25}{n + 5} = \frac{9}{2}. \] Решим его: \[ 2(4n + 25) = 9(n + 5), \] \[ 8n + 50 = 9n + 45, \] \[ 50 - 45 = 9n - 8n, \] \[ 5 = n. \] Значит, до контрольной у Зои было $n = 5$ обычных оценок. Контрольная с коэффициентом $5$ считается как ещё $5$ оценок. Итого теперь у Зои стоит \[ 5 + 5 = 10 \] оценок (с учётом коэффициента) по алгебре за $3$ четверть.
Ответ: $10$ оценок. - Решите уравнение:
\[
\left|\left||x-5|-5\right|-5\right|=5.
\]
Решение: Рассмотрим пошагово внешние модули.
1 случай: $\left| |x - 5| - 5 \right| - 5 = 5$.
$\left| |x - 5| - 5 \right| = 10$. Возможны подслучаи: а) $|x - 5| - 5 = 10$ → $|x - 5| = 15$ → $x = 20$ или $x = -10$. б) $|x - 5| - 5 = -10$ → $|x - 5| = -5$ → нет решений.
2 случай: $\left| |x - 5| - 5 \right| - 5 = -5$.
$\left| |x - 5| - 5 \right| = 0$ → $|x - 5| = 5$ → $x = 10$ или $x = 0$.
Проверка решений: $x = 20$: $\left|\left||20 -5| -5\right| -5\right| = \left||10| -5\right| = |5| = 5$ Аналогично проверяются остальные решения: $-10$, $10$, $0$ — все верны.
Сумма решений: $20 -10 + 0 + 10 = 20$.
Ответ: 20. - Задача.
Решили как-то математик, биолог и географ сравнить свои зарплаты. Выяснили, что зарплата математика в два раза больше зарплаты географа, а зарплата биолога относится к зарплате географа как $13:9$. Математик же получает на $21$ тысячу рублей больше, чем средняя зарплата географа и биолога. Найдите зарплату каждого преподавателя и в ответ запишите их сумму в тысячах рублей.
Решение.
Обозначим зарплату географа через $x$ тысяч рублей. Тогда: \[ \text{математик} = 2x, \qquad \text{биолог} = \frac{13}{9}x. \] Средняя зарплата географа и биолога равна \[ \frac{x + \frac{13}{9}x}{2} = \frac{\frac{22}{9}x}{2} = \frac{11}{9}x. \] По условию математик получает на $21$ тысячу рублей больше этой средней: \[ 2x = \frac{11}{9}x + 21. \] Решим уравнение: \[ 2x - \frac{11}{9}x = 21, \] \[ \frac{18x - 11x}{9} = 21, \] \[ \frac{7x}{9} = 21, \] \[ x = 21 \cdot \frac{9}{7} = 27. \] Тогда: \[ \text{географ} = 27 \text{ тыс. руб.}, \qquad \text{математик} = 2\cdot 27 = 54 \text{ тыс. руб.}, \qquad \text{биолог} = \frac{13}{9}\cdot 27 = 39 \text{ тыс. руб.} \] Сумма их зарплат: \[ 27 + 54 + 39 = 120. \]
Ответ: $120$ тысяч рублей. -
Задача.
Варя начертила прямоугольник, затем разделила его на несколько прямоугольников поменьше. У некоторых маленьких прямоугольников она измерила периметр и подписала рядом эти периметры: $160$, $57$, $14$, $179$, $43$. Варя считает, что этих данных хватает, чтобы узнать периметр изначального прямоугольника. Найдите, чему он равен.
Решение.
Обозначим ширины трёх столбцов через $x$, $y$, $z$, а высоты трёх строк через $a$, $b$, $c$. Тогда по рисунку периметры некоторых маленьких прямоугольников выражаются так: \[ 2(a+z) = 160 \quad\Rightarrow\quad a+z = 80, \] \[ 2(b+y) = 57 \quad\Rightarrow\quad b+y = \frac{57}{2}, \] \[ 2(c+x) = 14 \quad\Rightarrow\quad c+x = 7. \] Периметр большого прямоугольника равен \[ P = 2\big((x+y+z) + (a+b+c)\big). \] Заметим, что \[ (a+z) + (b+y) + (c+x) = (a+b+c) + (x+y+z). \] То есть сумма половин периметров трёх известных маленьких прямоугольников равна половине периметра большого прямоугольника. Считаем эту сумму: \[ \frac{160}{2} + \frac{57}{2} + \frac{14}{2} = 80 + 28{,}5 + 7 = 115{,}5. \] Это половина периметра большого прямоугольника, значит \[ P = 2 \cdot 115{,}5 = 231. \] Ответ: $231$. - Расстояние до базы пешком.
Решение: Пусть Марк проехал вперед $x$ км, назад — $y$ км. Тогда по условию:
$x + y = 12$ км (Марк).
Андрей проехал вперед $0{,}5x$ км, назад — $2y$ км.
Общий расход топлива: $3(x + 0{,}5x) + 5(y + 2y) = 75$ л.
Упростим: $4{,}5x + 15y = 75$.
Из уравнения Марка: $y = 12 - x$.
Подставим: $4{,}5x + 15(12 - x) = 75$ → $-10{,}5x + 180 = 75$ → $-10{,}5x = -105$ → $x = 10$ км.
Тогда $y = 2$ км.А $x=10$ км. Вместе они проехали $1,5x$ и $3y$, $15$ км вперед и $6$ км назад Итого: $15 - 6 = 9$ км вперед. Так как топливо закончилось, пешком нужно преодолеть 9 км.
Ответ: 9.
Материалы школы Юайти