Школа № 179 из 6 в 7 класс 2025 год

ГИМНАЗИЯ №1567

2025 год

21.03.2025

1. ($1$ балл) Поликарп очень спешит на вступительные испытания в $179$ школу. Папа везёт его на автомобиле, и за $25\%$ от минуты они проезжают $40\%$ километра. Какова скорость автомобиля в километрах в час?
2. ($1$ балл) Серёже нравятся числа и задачи про них. Он придумал трёхзначное число. Если в нём первую цифру увеличить на $2$, вторую цифру увеличить на $4$, а третью цифру увеличить на $6$, то в результате всё число увеличится в три раза. Какое число придумал Серёжа?
3. ($2$ балла) Решите уравнение. Если решений несколько, то в ответ запишите их сумму. \[ \left|\left|2-|x+5|\right|-3\right|=1. \]
4. ($2$ балла) В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $1:6$, считая от точки $A$, а точка $N$ делит сторону $CD$ в отношении $3:4$, считая от точки $D$. Найдите отношение площади $AMND$ к площади $BCNM$.
   
5. ($3$ балла) Боря на уроках занимается просторонними вещами. Сегодня он на алгебре нашёл себе новое развлечение: взял у сестры детскую пирамидку и сломанную машинку и стал играть. На ось от пирамидки он стал надевать колёса со спицами от сломанной машинки и крутить их. Когда Мария Александровна первый раз взглянула сверху на это, то увидела картинку, изображённую слева, а через минуту — картинку, изображённую справа.
   
   1. Могло ли у Бори быть три колеса?
   2. Могло ли у Бори быть два колеса?
   Свой ответ обоснуйте.
6. ($3$ балла) Маша и Даня дежурят на вступительных и тихонько играют в среднее арифметическое. Маша написала несколько чисел на листочке, Даня посчитал их среднее арифметическое и запомнил результат. Маша дописала число $15$, Даня посчитал, что среднее арифметическое увеличилось на $2$. Маша дописала число $1$, а Даня посчитал, что среднее арифметическое теперь уменьшилось на $1$ (от последнего результата). Сколько чисел было написано Машей изначально?
7. ($3$ балла) Работница столовой Нина Ивановна моет к завтраку яблоки в огромном чане в тёплой воде. Из горячего крана этот чан заполняется водой за $17$ минут, а из холодного — за $11$ минут. Через сколько минут после начала Нина должна открыть холодный, чтобы к тому моменту, как чан будет полностью заполнен, горячей воды в нём было на треть больше, чем холодной?

Решения задач

1. Поликарп очень спешит на вступительные испытания в $179$ школу. Папа везёт его на автомобиле, и за $25\%$ от минуты они проезжают $40\%$ километра. Какова скорость автомобиля в километрах в час?
   Решение:
   $25\%$ минуты = $\frac{1}{4}$ мин = $\frac{1}{4 \cdot 60}$ ч = $\frac{1}{240}$ ч.
   $40\%$ км = $0,4$ км.
   Скорость $v = \frac{0,4}{\frac{1}{240}} = 0,4 \cdot 240 = 96$ км/ч.
   Ответ: 96.
2. Серёже нравятся числа и задачи про них. Он придумал трёхзначное число. Если в нём первую цифру увеличить на $2$, вторую цифру увеличить на $4$, а третью цифру увеличить на $6$, то в результате всё число увеличится в три раза. Какое число придумал Серёжа?
   Решение: Пусть исходное число $\overline{abc}$, где $a,b,c$ — цифры.
   После изменений: $\overline{(a+2)(b+4)(c+6)} = 3 \cdot \overline{abc}$.
   В виде чисел: $100(a+2) + 10(b+4) + (c+6) = 3(100a + 10b + c)$.
   Упрощаем: $100a + 200 + 10b + 40 + c + 6 = 300a + 30b + 3c$.
   Получаем: $200A + 40B + 6C + 246 = 300A + 30B + 3C \rightarrow 100A + 10B + C = 123$.
   Число $\overline{abc} = 123$.
   Ответ: 123.
3. Решите уравнение. Если решений несколько, то в ответ запишите их сумму. \[ \left|\left|2-|x+5|\right|-3\right|=1. \] Решение: \[ \left| \left| 2 - |x+5| \right| - 3 \right| = 1 \] Возможные случаи:
   Случай 1: $\left|2 - |x+5|\right| - 3 = 1$
   $\left|2 - |x+5|\right| = 4$
   Подслучай 1a: $2 - |x+5| = 4$ — Решений нет, так как $|x+5| \geq 0 \Rightarrow 2 - |x+5| \leq 2$.
   Подслучай 1b: $2 - |x+5| = -4 \Rightarrow |x+5| = 6 \Rightarrow x+5 = \pm 6 \Rightarrow x = 1$ или $x = -11$.
   Случай 2: $\left|2 - |x+5|\right| - 3 = -1$
   $\left|2 - |x+5|\right| = 2$
   Подслучай 2a: $2 - |x+5| = 2 \Rightarrow |x+5| = 0 \Rightarrow x = -5$.
   Подслучай 2b: $2 - |x+5| = -2 \Rightarrow |x+5| = 4 \Rightarrow x+5 = \pm 4 \Rightarrow x = -1$ или $x = -9$.
   Все решения: $1$, $-11$, $-5$, $-1$, $-9$. Сумма: $1 + (-11) + (-5) + (-1) + (-9) = -25$.
   Ответ: -25.
4. В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $1:6$, считая от точки $A$, а точка $N$ делит сторону $CD$ в отношении $3:4$, считая от точки $D$. Найдите отношение площади $AMND$ к площади $BCNM$.
   Решение: Принимаем длину $AB = CD = 7k$, высоту $AD = BC = h$.
   Координаты точек: $A(0,0)$, $M(k,0)$, $D(0,h)$, $N(3k,h)$. Площадь фигуры $AMND$ можно рассчитать методом координат: \[ S_{AMND} = \frac{1}{2} \left| k \cdot h + 3k \cdot h \right| = 2kh. \] Площадь фигуры $BCNM$ аналогично: \[ S_{BCNM} = \frac{1}{2} \left| 7k \cdot h + 7k \cdot h - (3k \cdot h + k \cdot h) \right| = 5kh. \] Отношение: $\frac{2kh}{5kh} = \frac{2}{5}$.
   Ответ: $\frac{2}{5}$.
5. Могло ли у Бори быть три колеса?
   Ответ: Нет. Если бы вращалось три колеса, то через минуту их спицы совпали бы с исходным положением (так как угловая скорость для трёх спиц кратно $120^\circ$, что не изменяет визуального представления).
6. Могло ли у Бори быть два колеса?
   Ответ: Да. Например, колеса с разным количеством спиц могли повернуться на углы, при которых их положение меняется, сохраняя различимую картинку.
7. Маша написала несколько чисел, их среднее увеличилось на 2 после добавления 15 и уменьшилось на 1 после добавления 1. Сколько чисел было изначально?
   Решение: Пусть изначально было $n$ чисел, сумма $S$. Уравнения: \[ \begin{cases} \frac{S +15}{n + 1} = \frac{S}{n} + 2 \\ \frac{S +16}{n + 2} = \frac{S}{n} + 1 \end{cases} \] Решая систему, получаем $n = 4$.
   Ответ: 4.
8. Чан заполняется горячей водой за $17$ минут и холодной за $11$ минут. Нужно открыть холодный кран через $x$ минут после начала, чтобы горячей воды было на треть больше.
   Решение: Пусть после открытия холодного крана через $x$ минут горячая вода заполнялась $x$ минут и совместно $(17 - x)$ минут.
   Объемы: \[ \frac{x}{17} + \frac{17 - x}{17} = \frac{17}{17} \quad (\text{горячая}), \quad \frac{17 - x}{11} \quad (\text{холодная}). \] Условие: $\frac{x + (17 - x)}{17} = \frac{4}{3} \cdot \frac{17 - x}{11}$.
   Решая уравнение, получаем $x = 5$.
   Ответ: 5.