Школа № 179 из 6 в 7 класс 2025 год

Школа №179

2025 год

14.03.2025

1. ($1$ балл) Решите уравнение \[ 0{,}125\left(\dfrac{8}{9}x+8\right)=0{,}2\left(\dfrac{5}{6}x+2\tfrac{1}{3}\right)+2. \]
2. ($2$ балла) По пятницам Ульяна, Аня и Лиза ходят на волейбол. Петя посчитал, сколько каждая из них сделала прыжков за двухчасовую тренировку. Оказалось, что количество прыжков Ульяны относится к количеству прыжков Ани как $7:3$, а количество прыжков Лизы относится к количеству прыжков Ани как $4:5$. Сколько прыжков за тренировку сделала Ульяна, если она сделала на $92$ прыжка больше Лизы?
3. ($2$ балла) Егор любит сложные задачи по геометрии. Он сложил из нескольких квадратов вот такой прямоугольник. Сторона самого маленького чёрного квадрата равна $2$ см, а сторона серого квадрата равна $5$ см. Найдите сторону полосатого квадрата.
   
4. ($2$ балла) Решите уравнение. Если решений несколько, то в ответ запишите их сумму. \[ \left|\,|2x+1|-5\,\right|=6. \]
5. ($2$ балла) Найдите наименьшее число $n$ такое, что $n!$ делится на $2025^2$.
   Примечание: по определению $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$, например, $3!=1\cdot 2\cdot 3$.
6. ($3$ балла) Некоторые ученики $179$ школы ходят на большой перемене за бургером во «Вкусно и точка». Злата и Аня вышли одновременно из школы, но каждая пошла независимо от другой со своей постоянной скоростью за бургером (и картошечкой!). Когда Аня прошла $120$ метров, Злата прошла всего $100$ метров. А когда Ане оставалось $60$ метров, Злате оставалось целых $140$ метров. Сколько метров составляет длина дороги от школы до «Вкусно и точка»?
7. ($3$ балла) Поступающие в $7$ маткласс разобрались по аудиториям, ждут начала экзамена и болтают. В процессе разговоров выяснилось, что в одной из аудиторий $20\%$ учеников, интересующихся химией и историей, интересуются ещё и физикой, а $25\%$ учеников, интересующихся биологией и историей, интересуются также и информатикой. И только Поликарп и Авдотий любят только математику и ничего кроме неё. Сколько человек в этой аудитории, если известно, что их больше $20$, но меньше $30$?

Решения задач

1. Решите уравнение \[ 0{,}125\left(\dfrac{8}{9}x+8\right)=0{,}2\left(\dfrac{5}{6}x+2\tfrac{1}{3}\right)+2. \] Решение: Переведём десятичные дроби в обычные и смешанные числа в неправильные дроби: \[ \frac{1}{8} \cdot \left( \frac{8x}{9} + 8 \right) = \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{5x}{6} + \frac{7}{3} \right) + 2 \] Упростим обе части: \[ \frac{8x}{9 \cdot 8} + \frac{8}{8} = \frac{5x}{6 \cdot 5} + \frac{7}{3 \cdot 5} + 2 \] \[ \frac{x}{9} + 1 = \frac{x}{6} + \frac{7}{15} + 2 \] Найдём общий знаменатель (90) и умножим все члены: \[ 10x + 90 = 15x + 42 + 180 \] \[ 10x + 90 = 15x + 222 \] Перенесём слагаемые: \[ -5x = 132 \quad \Rightarrow \quad x = -26{,}4 \] Ответ: $-26{,}4$.
2. По пятницам Ульяна, Аня и Лиза ходят на волейбол. Петя посчитал, что количество прыжков Ульяны относится к количеству прыжков Ани как $7:3$, а количество прыжков Лизы относится к количеству прыжков Ани как $4:5$. Сколько прыжков за тренировку сделала Ульяна, если она сделала на $92$ прыжка больше Лизы?
   Решение.
   Обозначим: \[ U \text{ — количество прыжков Ульяны,} \] \[ A \text{ — количество прыжков Ани,} \] \[ L \text{ — количество прыжков Лизы.} \] По условию: \[ U : A = 7 : 3, \] значит \[ U = 7k,\quad A = 3k \] для некоторого числа $k$. Также \[ L : A = 4 : 5, \] значит \[ L = 4m,\quad A = 5m \] для некоторого числа $m$. Так как количество прыжков Ани одно и то же, то \[ 3k = 5m. \] Удобно положить \[ k = 5t,\quad m = 3t. \] Тогда \[ A = 3k = 3 \cdot 5t = 15t, \] \[ U = 7k = 7 \cdot 5t = 35t, \] \[ L = 4m = 4 \cdot 3t = 12t. \] По условию Ульяна сделала на $92$ прыжка больше Лизы: \[ U - L = 92. \] Подставляем выражения: \[ 35t - 12t = 92, \] \[ 23t = 92, \] \[ t = 4. \] Тогда \[ U = 35t = 35 \cdot 4 = 140. \] Ответ: Ульяна сделала $140$ прыжков.
3. Егор сложил из нескольких квадратов прямоугольник. Сторона самого маленького чёрного квадрата равна $2$ см, а сторона серого квадрата равна $5$ см. Найдите сторону полосатого квадрата.
   Решение:
   Мы знаем , что сторона черного кввадрата - 2, а сторона серого квадрата - 5. С помощью этой информации мы можем получить сторону соседнего белого квадрата, которая равна $5+2=7$ см так как он касается двух изначально данных нам квадратов.
   Следующий квадрат, чью сторону мы можем найти - это верхний маленький квадрат. Его сторона $7+2=9$ см
   Далее мы по такому же принципу находим сторону центрального правого квадрата.Она равна $9+7=16$ см.
   Сторона правого нижнего квадрата $16+7+5=28$ см.
   Сторона полосатого квадрата $28+5=33$ см
   Ответ: 33 см.
4. Решите уравнение: \[ \left|\,|2x+1|-5\,\right|=6. \] Решение: Рассмотрим два случая: \[ |2x + 1| - 5 = 6 \quad \text{или} \quad |2x + 1| - 5 = -6 \] Для первого случая: \[ |2x + 1| = 11 \Rightarrow 2x + 1 = \pm11 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm11}{2} = 5; -6 \] Для второго случая: \[ |2x + 1| = -1 \quad \text{— решений нет} \] Сумма решений 5 и -6 =-1
   Ответ: $5; -6$. Сумма: $5 + (-6) = -1$.
5. Найдите наименьшее число $n$ такое, что $n!$ делится на $2025^2$.
   Решение:
   Сначала разложим число $2025$ на простые множители: \[ 2025 = 81 \cdot 25 = 3^4 \cdot 5^2. \] Тогда \[ 2025^2 = (3^4 \cdot 5^2)^2 = 3^8 \cdot 5^4. \] Значит, в разложении $n!$ на простые множители должно быть не меньше $8$ троек и не меньше $4$ пятёрок. Степень числа $5$ в разложении $n!$ равна \[ \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \dots \] Найдём наименьшее $n$, при котором эта сумма не меньше $4$. Проверим значения $n$, кратные $5$: \[ n = 5:\quad \left\lfloor \frac{5}{5} \right\rfloor = 1 < 4, \] \[ n = 10:\quad \left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor = 2 < 4, \] \[ n = 15:\quad \left\lfloor \frac{15}{5} \right\rfloor = 3 < 4, \] \[ n = 20:\quad \left\lfloor \frac{20}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{20}{25} \right\rfloor = 4 + 0 = 4. \] Впервые степень $5$ становится не меньше $4$ при $n = 20$, значит $n \ge 20$. Теперь проверим степень числа $3$ в $20!$: \[ \left\lfloor \frac{20}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{20}{9} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{20}{27} \right\rfloor + \dots = 6 + 2 + 0 = 8. \] То есть в $20!$ ровно $8$ троек и $4$ пятёрки, этого достаточно, чтобы \[ 20! \text{ делилось на } 3^8 \cdot 5^4 = 2025^2. \] При $n < 20$ степеней числа $5$ меньше, чем $4$, поэтому $n = 20$ — минимальное подходящее число.
   Ответ: $20$.
6. Длина дороги от школы до «Вкусно и точка» равна $S$ метров. Скорости Ани и Златы — $v_A$ и $v_Z$ соответственно.
   Первое условие: $\frac{120}{v_A} = \frac{100}{v_Z}$
   Второе условие: $\frac{S - 60}{v_A} = \frac{S - 140}{v_Z}$
   Из первого уравнения: $v_A = 1{,}2v_Z$
   Подставляем во второе: \[ \frac{S - 60}{1{,}2v_Z} = \frac{S - 140}{v_Z} \Rightarrow S - 60 = 1{,}2(S - 140) \] \[ S - 60 = 1{,}2S - 168 \Rightarrow -0{,}2S = -108 \Rightarrow S = 540 \] Ответ: 540 метров.
7. 
   Решение.
   Пусть в аудитории всего $n$ человек. Только Поликарп и Авдотий любят только математику, значит остальные \[ n-2 \] человек интересуются ещё какими-то предметами. Сказано, что $20\%$ из этих $n-2$ человек (те, кто интересуется химией и историей) ещё любят физику. $20% = \dfrac{20}{100} = \dfrac{1}{5}$, поэтому число $20\%$ от $n-2$ равно $\dfrac{1}{5}(n-2)$ и должно быть целым числом людей. Значит, $n-2$ делится на $5$. Аналогично, $25\%$ (это $\dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$) от тех же $n-2$ человек (биология, история, информатика) — тоже целое число людей, значит $n-2$ делится и на $4$. Итак, $n-2$ делится и на $4$, и на $5$, поэтому оно кратно \[ \operatorname{НОК}(4,5) = 20. \] То есть \[ n-2 = 20, 40, 60, \dots \] По условию в аудитории учеников больше $20$, но меньше $30$, значит подходит только \[ n-2 = 20 \quad\Rightarrow\quad n = 22. \] Ответ: $22$ человека.