Школа № 179 из 6 в 7 класс 2021 год

Школа 179. Письменное вступительное испытание в 7 класс

1. Найдите все натуральные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}. \]
2. Игральный кубик с цифрами от 1 до 6 на гранях положили на стол и стали перекатывать через рёбра по правилу «вперёд-влево-назад-вправо-вперёд-влево-назад-вправо-...». Через сколько ходов кубик окажется в точности в исходном положении?
3. Два колобка катились по тропинке со скоростью 6 км/ч, расстояние между ними было 45 м. Когда тропинка повела через болото, скорость каждого колобка стала всего 2 км/ч. Каким стало расстояние между колобками, когда они оба оказались на болотистом участке тропинки?
4. Сколько в первой тысяче натуральных чисел не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?
5. Контрольную работу у строгого Иллариона Бенедиктовича писало 28 школьников. Все школьники сдали свои работы. Каждую задачу строгий Илларион Бенедиктович оценивал следующим образом: «1» – задача решена, «0» – задачу решал, но не решил, «--» – задачу не решал. После проверки контрольных учитель заметил, что нет двух работ таких, что в них одновременно совпадает количество оценок «1» и «0». Какое наименьшее количество задач мог предложить строгий Илларион Бенедиктович на контрольной?
6. Квадрат разделили на 9 одинаковых квадратиков (см. рисунок). Чему равна площадь закрашенного четырёхугольника?
   
7. Огород Ипполита Матвеевича имеет вид прямоугольника. Если Ипполит Матвеевич увеличит ширину огорода на $30\%$, а длину увеличит на $20\%$, то периметр огорода увеличится на 12 м. А если он уменьшит ширину на $20\%$, а длину уменьшит на $30\%$, то периметр огорода уменьшится на 16 м. Чему равен периметр огорода Ипполита Матвеевича?
8. Какое максимальное число квадратиков $2\times 2$ можно разместить на доске $10\times 10$ так, чтобы они не касались друг друга даже уголками? Ответ должен быть обоснован.