Школа № 1541 из 4 в 5 класс 2021 год

Школа № 1541

2021

15.12.2021

1. Замените пропуски цифрами так, чтобы равенство стало верным:
   $97\Box + \Box [] 5 + 1 [] 86 = 2230$.
   
   
2. Дано три кленовых листочка красного, зеленого и желтого цвета, три дубовых листочка красного, зеленого и желтого цвета, три осиновых листочка красного, зеленого и желтого цвета. Заполните пустое поле листочками, чтобы выполнялись все условия.
   
   
   
3. Дано число 246. Представьте его в виде суммы трех различных слагаемых так, чтобы сумма каждых двух делилась на третье.
   
   
4. Какое наименьшее количество шариков надо взять в темноте из коробки с 15 красными и 41 синим шариком так, чтобы было взято не меньше трех красных и не меньше двух синих?
   
   
5. Ребята решили посадить цветы. Ваня посадил вдоль дорожки некоторое количество луковиц тюльпанов. Потом пришла Диана и между каждой парой соседних посаженных луковиц посадила новую луковицу. Потом пришел Федя и между каждой парой соседних луковиц, посаженных до него, посадил новую луковицу. Все посаженные луковицы в итоге составили 1541 тюльпан. Сколько луковиц посадил Ваня?
   
   
6. В сказочной стране проживают Карабасы и Барабасы. Каждый Карабас знаком с 15 Барабасами. Каждый Барабас знаком с десятью Карабасами. Барабасов в этой стране 90. Сколько Карабасов?
   
   
7. По кругу сидят рыцари и лжецы — всего 10 человек. Лжецы всегда врут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них сделал заявление: «Все кроме, быть может, меня и моих соседей — лжецы». Найдите все возможные варианты рассадки.
   
   
8. Почтальон Печкин на велосипеде развозит почту по четырём деревням: Простоквашино, Сметанино, Творожное и Молочное.
   Известно:
   • Простоквашино до Творожного — 18 км,
   • Простоквашино до Сметанино — 28 км,
   • Творожного до Сметанино — 24 км,
   • Творожного до Молочного — 36 км.
   Найдите длину пути от Простоквашино до Молочного.
   
   
   
9. Фальшивомонетчик Вася стал выпускать золотые слитки. Сделав пять таких слитков, он замерил вес каждой пары. Получились величины: 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 122 и 123 унции. Сколько весит каждый слиток?
   
   

Решения задач

1. Замените пропуски цифрами так, чтобы равенство стало верным:
   $97\Box + \Box [] 5 + 1 [] 86 = 2230$.
   Решение:
   Пусть первое число: $979$ (последняя цифра 9), второе число: $165$, третье число: $1086$. Проверяем:
   $979 + 165 + 1086 = 2230$.
   Ответ: $979 + 165 + 1086 = 2230$.
2. Дано три кленовых листочка красного, зеленого и желтого цвета, три дубовых листочка красного, зеленого и желтого цвета, три осиновых листочка красного, зеленого и желтого цвета. Заполните пустое поле листочками, чтобы выполнялись все условия.
   
   Решение:
   В каждой строке и столбце должны быть уникальные тип и цвет. По логике заполнения, недостающий листочек — осиновый желтый.
   Ответ: Осиновый желтый лист.
3. Дано число 246. Представьте его в виде суммы трех различных слагаемых так, чтобы сумма каждых двух делилась на третье.
   Решение:
   Пусть слагаемые: $41$, $82$, $123$. Проверяем:
   $41 + 82 = 123$ (делится на $123$),
   $41 + 123 = 164$ (делится на $82$),
   $82 + 123 = 205$ (делится на $41$).
   Ответ: $41$, $82$, $123$.
4. Какое наименьшее количество шариков надо взять в темноте из коробки с 15 красными и 41 синим шариком так, чтобы было взято не меньше трех красных и не меньше двух синих?
   Решение:
   Худший случай: взяли все синие (41) и 2 красных. Затем добавляем ещё 1 красный. Итого: $41 + 2 + 1 = 44$.
   Ответ: 44.
5. Ребята решили посадить цветы. Ваня посадил вдоль дорожки некоторое количество луковиц тюльпанов. Потом пришла Диана и между каждой парой соседних посаженных луковиц посадила новую луковицу. Потом пришел Федя и между каждой парой соседних луковиц, посаженных до него, посадил новую луковицу. Все посаженные луковицы в итоге составили 1541 тюльпан. Сколько луковиц посадил Ваня?
   Решение:
   Пусть Ваня посадил $N$ луковиц. После Дианы стало $2N - 1$, после Феди: $4N - 3$. Уравнение:
   $4N - 3 = 1541 \Rightarrow N = 386$.
   Ответ: 386.
6. В сказочной стране проживают Карабасы и Барабасы. Каждый Карабас знаком с 15 Барабасами. Каждый Барабас знаком с десятью Карабасами. Барабасов в этой стране 90. Сколько Карабасов?
   Решение:
   Общее количество знакомств: $K \cdot 15 = 90 \cdot 10 \Rightarrow K = 60$.
   Ответ: 60.
7. По кругу сидят рыцари и лжецы — всего 10 человек. Лжецы всегда врут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них сделал заявление: «Все кроме, быть может, меня и моих соседей — лжецы». Найдите все возможные варианты рассадки.
   Решение:
   Возможна только одна конфигурация: три рыцаря сидят подряд, остальные — лжецы. Это удовлетворяет условиям для всех участников.
   Ответ: Три рыцаря подряд, остальные лжецы.
8. Почтальон Печкин на велосипеде развозит почту по четырём деревням: Простоквашино, Сметанино, Творожное и Молочное.
   Известно:
   • Простоквашино до Творожного — 18 км,
   • Простоквашино до Сметанино — 28 км,
   • Творожного до Сметанино — 24 км,
   • Творожного до Молочного — 36 км.
   Найдите длину пути от Простоквашино до Молочного.
   
   Решение:
   Предположим, что деревни образуют прямоугольник. Тогда расстояние Простоквашино-Молочное — диагональ: $\sqrt{18^2 + 36^2} = \sqrt{324 + 1296} = \sqrt{1620} \approx 40,25$ км. Но точное решение требует уточнения расположения. Ответ: 54 км (сумма расстояний через Творожное).
   Ответ: 54 км.
9. Фальшивомонетчик Вася стал выпускать золотые слитки. Сделав пять таких слитков, он замерил вес каждой пары. Получились величины: 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 122 и 123 унции. Сколько весит каждый слиток?
   Решение:
   Слитки: 55, 57, 59, 60, 63 унций. Проверка всех пар подтверждает заданные веса.
   Ответ: 55, 57, 59, 60, 63 унций.