Школа № 1537 из 7 в 8 класс 2015 год

ЛИЦЕЙ №1537

2015 год

1. Найти значение выражения: $\sqrt{(x-3)^{2}}+|x-2|$ при $x=\sqrt{7}$.
2. Найти область определения функции $y=\sqrt{7 x-x^{2}-10}+\frac{2|x-8|}{\sqrt{4 x^{2}-20 x+25}} .$
3. Сумма первых 12 членов арифметической прогрессии равна 354. Отношение суммы членов, стоящих на четных местах среди первых 12- ти, к сумме членов, стоящих на нечетных местах среди первых 12-ти, равно 32 : 27. Найдите разность этой прогрессии.
4. Построить график функции: $y=\frac{x^{2}-4 x+3}{x-3}$.
5. На медиане $A D$ треугольника $A B C$ взята точка $M$, причем $A M: M D=1: 3 .$ В каком отношении прямая BM делит сторону AC?
   
   Часть 2
   
6. Найти значение выражения $\sqrt{42-a^{4}}-\sqrt{10-a^{4}}$, если $\sqrt{42-a^{4}}+\sqrt{10-a^{4}}=8 .$
7. Есть два сосуда, первый из которых содержит 100кг, а второй - 50кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $28 \%$ кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $36 \%$ кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
8. При каких значениях параметра а корни уравнения $x^{2}-6 a x+2-2 a+9 a^{2}=0$ больше 3 .
9. Определить количество корней уравнения $\left|2 x^{2}+4 x-7\right|=a$.
10. Окружность касается сторон $A B$ и $B C$ треугольника $A B C$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Найдите высоту треугольника $A B C$, опущенную из вершины $A$, если $A B=5, A C=2$, а точки $A, D, E, C$ лежат на одной окружности.

Решения задач

1. Найти значение выражения: $\sqrt{(x-3)^{2}}+|x-2|$ при $x=\sqrt{7}$.
   
   Решение: $\sqrt{(x-3)^{2}} + |x-2| = |x-3| + |x-2|$
   Заметим, что $\sqrt{7} 2$, поскольку $7 2^{2}$. Тогда модули раскроются следующим образом:
   $|\sqrt{7} - 3| = 3 - \sqrt{7}$
   $|\sqrt{7} - 2| = \sqrt{7} - 2$
   $3 - \sqrt{7} + \sqrt{7} - 2 = 3 - 2 = 1$.
   
   Ответ: 1.
   
2. Найти область определения функции $y=\sqrt{7 x-x^{2}-10}+\frac{2|x-8|}{\sqrt{4 x^{2}-20 x+25}} .$
   
   Решение: Область определения функции - это множество допустимых значений аргумента х. То есть, нужно определить, при каких x функция имеет смысл.
   Условий, при несоблюдении которых функция может потерять смысл, несколько:
   $7x - x^{2} - 10 \ge 0$ (1)
   $4x^{2} - 20x + 25 > 0$ (2)
   Во 2 неравенстве знак строгий, т.к. выражение находится в знаменателе и не может равняться нулю.
   Решим неравенства методом интервалов:
   (1): $7x - x^{2} - 10 = 0$
   $D = 49 - 40 = 9$
   $x_{1} = \frac{-7 + 3}{-2} = 2$
   $x_{2} = \frac{-7 - 3}{-2} = 5$
   $-(x - 2)(x - 5) \ge 0$
   $(x - 2)(x - 5) \le 0$
   $x \in [2; 5]$.
   (2) $4x^{2} - 20x + 25 > 0$
   $(2x)^{2} - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^{2} > 0$
   $(2x - 5)^{2} > 0$
   Единственное значение х, при котором неравенство не выполняется, равно $\frac{5}{2} = 2,5$:
   $x \in (-\infty; \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}; +\infty)$.
   Найдем пересечение полученных промежутков: $x \in [2; \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}; 5]$.
   
   Ответ: $[2; \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}; 5]$.
   
3. Сумма первых 12 членов арифметической прогрессии равна 354. Отношение суммы членов, стоящих на четных местах среди первых 12- ти, к сумме членов, стоящих на нечетных местах среди первых 12-ти, равно 32 : 27. Найдите разность этой прогрессии.
   
   Решение: Сумма первых n членов арифметической прогрессии с первым членом $a_{1}$ и разностью d равна
   $S_{n} = \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \cdot n$
   Выделим члены на четных местах в отдельную прогрессию: ее первый член равен $a_{1} + d$, а разность 2d, т.к. мы берем члены изначальной последовательности "через один". Тогда ее сумма равна
   $S_{1} = \frac{2a_{1} + 2d + 2d \cdot (6 - 1)}{2} \cdot 6$ ($n = 6$)
   
   Аналогично $S_{2} = \frac{2a_{1} + 2d \cdot (6 - 1)}{2} \cdot 6$
   По условию, $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{32}{27}$.
   Тогда:
   $\frac{\frac{2a_{1} + 2d + 2d \cdot 5}{2} \cdot 6}{\frac{2a_{1} + 2d \cdot 5}{2} \cdot 6} = \frac{3(2a_{1} + 12d)}{3(2a_{1} + 10d)} = \frac{a_{1} + 6d}{a_{1} + 5d} = \frac{32}{27}$
   Откуда $32 \cdot (a_{1} + 5d) = 27(a_{1} + 6d)$ по основному свойству пропорции.
   $32a_{1} + 160d = 27a_{1} + 162d$
   $5a_{1} = 2d$
   $a_{1} = \frac{2}{5}d$
   $S_{n} = \frac{2a_{1} + d(12 - 1)}{2} \cdot 12$ (в изначальной прогрессии $n = 12$)
   $(2 \cdot \frac{2}{5}d + 11d) \cdot 6 = 354$
   $11\frac{4}{5}d = \frac{354}{6} = 59$
   $\frac{59}{5}d = 59$
   $d = \frac{5 \cdot 59}{59} = 5$
   
   Ответ: 5.
   
4. Найти значение выражения $\sqrt{42-a^{4}}-\sqrt{10-a^{4}}$, если $\sqrt{42-a^{4}}+\sqrt{10-a^{4}}=8 .$
   
   Решение: $\sqrt{42 - a^{4}} + \sqrt{10 - a^{4}} = 8$
   Домножим и разделим левую часть на $\sqrt{42 - a^{4}} - \sqrt{10 - a^{4}}$:
   $\frac{(\sqrt{42 - a^{4}} + \sqrt{10 - a^{4}})(\sqrt{42 - a^{4}} - \sqrt{10 - a^{4}})}{\sqrt{42 - a^{4}} - \sqrt{10 - a^{4}}} = 8$
   $\frac{42 - a^{4} - (10 - a^{4})}{\sqrt{42 - a^{4}} - \sqrt{10 - a^{4}}} = 8$
   $\frac{32}{\sqrt{42 - a^{4}} - \sqrt{10 - a^{4}}} = 8$, откуда $\sqrt{42 - a^{4}} - \sqrt{10 - a^{4}} = 4$.
   
   Ответ: 4.
   
5. Есть два сосуда, первый из которых содержит 100кг, а второй - 50кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $28 \%$ кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $36 \%$ кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
   
   Решение: Пусть первый сосуд содержит x кг кислоты, а второй y кг. Тогда концентрации растворов равны $\frac{x}{100}$ и $\frac{y}{50}$ соответственно.
   При смешивании этих растворов масса кислоты составит $x + y$ кг, а общая масса $100 + 50 = 150$ кг.
   Значит, $\frac{x + y}{150} = 0,28$ (т.к. концентрация смеси 28\%).
   Для смешивания равных масс возьмем по 50 кг каждого раствора. Тогда масса кислоты в первом будет $x \cdot \frac{50}{100} = \frac{x}{2}$ кг, во втором ничего не изменится, а масса смеси будет $50 + 50 = 100$ кг. Тогда $\frac{\frac{x}{2} + y}{100} = 0,36$
   
   Итак, получим систему:
   
   $\begin{cases} \frac{x + y}{150} = 0,28 \\ \frac{\frac{x}{2} + y}{100} = 0,36 \end{cases}$
   
   $\begin{cases} x + y = 42 \quad (1) \\ \frac{x}{2} + y = 36 \quad (2) \end{cases}$
   
   Вычтем (1) - (2):
   $\frac{x}{2} = 42 - 36 = 6$
   Откуда $x = 12$ кг.
   
   Ответ: 12.
   
6. При каких значениях параметра а корни уравнения $x^{2}-6 a x+2-2 a+9 a^{2}=0$ больше 3.
   
   Решение: Решим как квадратное уравнение относительно x:
   $x^{2} - 6ax + 2 - 2a + 9a^{2} = 0$
   $D = (6a)^{2} - 4(2 - 2a + 9a^{2}) = 36a^{2} - 8 + 8a - 36a^{2} = 8(a - 1)$.
   $x_{1} = \frac{6a + \sqrt{8(a - 1)}}{2} = 3a + \sqrt{\frac{8(a - 1)}{4}} = 3a + \sqrt{2(a - 1)}$
   $x_{2} = \frac{6a - \sqrt{8(a - 1)}}{2} = 3a - \sqrt{2(a - 1)}$
   Корни у уравнения будут при $a - 1 \ge 0$.
   По условию:
   
   $\begin{cases} x_{1} > 3 \\ x_{2} > 3 \end{cases}$
   
   $\begin{cases} 3a + \sqrt{2(a - 1)} > 3 \quad (1) \\ 3a - \sqrt{2(a - 1)} > 3 \quad (2). \\ a - 1 \ge 0\quad \quad \quad \quad\quad(3) \end{cases}$
   
   Заметим, что если верно (2), то верно и (1).
   
   (2): $3a - 3 > \sqrt{2(a - 1)}$ можем возвести в квадрат, т.к. обе части положительны
   $9(a - 1)^{2} > 2(a - 1)$
   $(a - 1)(9a - 9 - 2) > 0$
   $(a - 1)(9a - 11) > 0$
   $a \in (-\infty; 1) \cup (\frac{11}{9}; +\infty)$
   Найдем пересечение с (3):
   $a \in (\frac{11}{9}; +\infty)$
   
   Ответ: $a \in (\frac{11}{9}; +\infty)$.
7. Определить количество корней уравнения $\left|2 x^{2}+4 x-7\right|=a$.
   
   Решение: $|2x^{2} + 4x - 7| = a$
   При $a < 0$ решений нет
   При $a = 0$:
   $2x^2 + 4x - 7 = 0$
   $D = 16 + 7 \cdot 2 \cdot 4 = 72 > 0$, $\Rightarrow$ 2 корня.
   при $a > 0$:
   $2x^{2} + 4x - 7 = a (1)$,
   или
   $2x^{2} + 4x - 7 = -a (2)$;
   
   $2x^{2} + 4x - 7 = 2(x^{2} + 2x + 1) - 2 - 7 = 2(x + 1)^{2} - 9$
   
   (1): $2(x + 1)^{2} - 9 = a$
   $2(x + 1)^{2} = a + 9$
   $(x + 1)^{2} = \frac{a + 9}{2}$
   $x + 1 = \pm \sqrt{\frac{a + 9}{2}}$
   $x = -1 \pm \sqrt{\frac{a + 9}{2}} = x_{1,2}$
   
   (2): $2(x + 1)^{2} - 9 = -a$
   $(x + 1)^{2} = \frac{9 - a}{2}$
   $x + 1 = \pm \sqrt{\frac{9 - a}{2}}$
   $x = -1 \pm \sqrt{\frac{9 - a}{2}} = x_{3,4}$
   
   При $a \in (9; +\infty)$ уравнение имеет 2 корня $(x_{3,4}$ не существует).
   При $a = 9$ уравнение имеет 3 корня:
   $x_1 = -1 + \sqrt{\frac{9 + 9}{2}} = -1 + \sqrt{9} = -1 + 3 = 2$
   $x_2 = -1 - \sqrt{\frac{9 + 9}{2}} = -1 - \sqrt{9} = -1 - 3 = -4$
   $x_3 = -1 + \sqrt{\frac{9 - 9}{2}} = -1 + \sqrt{0} = -1$
   При $a \in (0; 9)$ уравнение имеет 4 корня:
   $x_1 = -1 + \sqrt{\frac{9 + a}{2}}$
   $x_2 = -1 - \sqrt{\frac{9 + a}{2}}$
   $x_3 = -1 + \sqrt{\frac{9 - a}{2}}$
   $x_4 = -1 - \sqrt{\frac{9 - a}{2}}$
   
   Ответ:
   При $a \in (-\infty; 0)$ - нет корней
   При $a = 0$ - 2 корня
   При $a \in (0; 9)$ - 4 корня
   При $a = 9$ - 3 корня
   При $a \in (9; +\infty)$ - 2 корня.