Школа № 1533 «ЛИТ» из 6 в 7 2023 год

Лит 1533 - 25.08.2023

из 6 в 7

1. Вычислите рациональным способом:
   а) $-934{,}8 \cdot 0{,}572 + 11{,}6 \cdot 93{,}48 - 9{,}348 \cdot 68{,}8$
   б) $-\left( \dfrac{4}{19} - 0{,}25 \right) \cdot 0{,}76$
   
   
2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: \[ 4x - 2(5x - 3) - 10(-6 - 2x) \]
   
   
3. Решите уравнение:
   а) $\dfrac{-7 + 4x}{3} - \dfrac{11x - 3}{12} = \dfrac{9}{6}$
   б) $5|x - 7| = 9 - 1$
   
   
4. Автомобилист преодолел расстояние от Москвы до Казани за три дня. В первый день он преодолел 25% пути и ещё 98 км, во второй день — $\dfrac{1}{7}$ всего пути и ещё 83 км, а в третий день — $\dfrac{29}{84}$ всего пути и оставшиеся 17 км. На каком расстоянии находятся Москва и Казань?
   
   
5. Цена товара снижалась в течение трёх месяцев. В первом месяце она снизилась на 15%, во втором — на 12%, а в третьем — на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
   
   
6. Робот-пылесос может убрать квартиру за 1 час 36 минут. Супермаме для выполнения той же работы требуется на 25% меньше времени. После того как в течение 40 минут работал робот-пылесос, к нему присоединилась супермама, и они вместе закончили работу. Сколько минут робот-пылесос и супермама работали вместе?
   
   
7. В сети интернет проводился опрос, по результатам которого 45% пользователей пойдут в кинотеатр на фильм «Барби», 300 человек пойдут на фильм «Оппенгеймер», а число воздержавшихся от ответа относится к числу будущих зрителей фильма «Барби» как $2\dfrac{11}{12} : 5{,}25$. Сколько человек участвовало в опросе?

ЛИТ 1533 – 25.08.2023
Вступительная работа, из 6 в 7 класс

1. Вычислите рациональным способом:
   
   а) $-934{,}8 \cdot 0{,}572 + 11{,}6 \cdot 93{,}48 - 9{,}348 \cdot 68{,}8 = -100 \cdot 9,348 \cdot 0,572 + 11,6 \cdot 10 \cdot 9,348 - 9,348 \cdot 68,8 = -9,348 \cdot (100 \cdot 0,572 - 10 \cdot 11 + 68,8) = -9,348 \cdot (57,2 - 110 + 68,8) = -9,348 \cdot (126 - 110) = -9,348 \cdot 16 = -149,568.$
   
   б) $-\left( \frac{4}{19} - 0.25 \right) \cdot 0.76 = -\frac{4}{19}\cdot 0,76 + 0,25 \cdot 0,76 = -\frac{4}{19}\cdot \frac{76}{100} + \frac{25}{100} \cdot 0,76 = -\frac{4}{1}\cdot \frac{4}{100} + \frac{1}{4}\cdot 0,76 = -\frac{16}{100} + 0,19 = 0,19 - 0,16 = 0,03.$
   
   
2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: \[ 4x - 2(5x - 3) - 10(-6 - 2x) \] Раскрываем скобки: \[ 4x - 10x + 6 + 60 + 20x \] Приводим подобные слагаемые: \[ (4x - 10x + 20x) + (6 + 60) = 14x + 66 \] Ответ: \(14x + 66\).
3. Решите уравнения:
   
   а) \[ \frac{-7 + 4x}{3} - \frac{11x - 3}{12} = \frac{9}{6} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{4(-7 + 4x) - (11x - 3)}{12} = \frac{9}{6} \] \[ \frac{-28 + 16x - 11x + 3}{12} = \frac{9}{6} \] \[ \frac{5x - 25}{12} = \frac{3}{2} \] Умножим обе части на 12: \[ 5x - 25 = 18 \] \[ 5x = 43 \] \[ x = \frac{43}{5} = 8.6 \] б) \[ 5|x-7| = 9-1 \] \[ 5|x-7| = 8 \] \[ |x-7| = \frac{8}{5} = 1.6 \] Раскрываем модуль: \[ x-7 = 1.6\quad \text{или}\quad x-7 = -1.6 \] \[ x = 8.6\quad \text{или}\quad x = 5.4 \]
4. Задача про Москву и Казань:
   
   Пусть всё расстояние \(x\). Первый день: \[ \frac{1}{4}x + 98 \] Второй день: \[ \frac{1}{7}x + 83 \] Третий день: \[ \frac{29}{84}x + 17 \] Составляем уравнение: \[ \frac{1}{4}x + 98 + \frac{1}{7}x + 83 + \frac{29}{84}x + 17 = x \] Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{21}{84}x + \frac{12}{84}x + \frac{29}{84}x + 198 = x \] \[ \frac{62}{84}x + 198 = x \] \[ \frac{22}{84}x = 198 \] \[ \frac{11}{42}x = 198 \] \[ x = 198 \times \frac{42}{11} = 756 \] Ответ: \(756\ \text{км}\).
5. Снижение цены:
   
   Обозначим начальную цену за 100. После первого месяца: \[ 100 \times 0.85 = 85 \] После второго месяца: \[ 85 \times 0.88 = 74.8 \] После третьего месяца: \[ 74.8 \times 0.9 = 67.32 \] Общее снижение: \[ 100 - 67.32 = 32.68\% \] Ответ: снижение на \(32.68\%\).
   
   
6. Робот-пылесос и супермама:
   
   Переведём время работы робота в минуты: \[ 1\ \text{ч}\ 36\ \text{мин} = 96\ \text{мин} \] Супермама работает на \(25\%\) быстрее, а значит справляется за: \[ 96 \times 0.75 = 72\ \text{мин} \] По условию 40 минут робот работал один, а значит успел проделать: \[ \frac{40}{96} = \frac{5}{12}\ \text{работы сделано} \] Осталось: \[ 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \] Пусть \(x\) минут они работали вместе. Тогда: \[ \frac{x}{96} + \frac{x}{72} = \frac{7}{12} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{3x+4x}{288} = \frac{7}{12} \] \[ \frac{7x}{288} = \frac{7}{12} \] \[ x = 24 \] Ответ: \(24\ \text{минуты}\) вместе.
7. Опрос:
   
   Пусть общее число участников — \(x\). Тогда: \[ 0.45x\ \text{– Барби} \] \[ 300\ \text{– Оппенгеймер} \] Приведём дроби из пропорции к обыкновенному виду: \[ 2\frac{11}{12} = \frac{35}{12},\quad 5.25 = \frac{21}{4} \] Тогда их отношение: \[ \frac{35}{12} : \frac{21}{4} = \frac{35}{12} \times \frac{4}{21} = \frac{35 \times 4}{12 \times 21} = \frac{140}{252} = \frac{70}{126} = \frac{35}{63} = \frac{5}{9} \] Таким образом количество воздержавшихся: \[ \frac{5}{9} \times 0.45x = \frac{5}{9} \times \frac{9}{20}x = \frac{5}{20}x = \frac{1}{4}x \] Теперь можем составить уравнение, посчитав общее количество участников: \[ 0.45x + 300 + \frac{1}{4}x = x \] \[ 0.45x + 0.25x + 300 = x \] \[ 0.7x + 300 = x \] \[ 0.3x = 300 \] \[ x = 1000 \] Ответ: \(1000\) участников.