Школа № 1329 из 5 в 6 класс 2017 год

Школа № 1329

2017

Устное

1. По порядку без пропусков записывают все подряд идущие натуральные числа: \[ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\dots \] На каком месте слева в этом ряду окажется десятый ноль?
   
   
2. Сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различны и идут (слева направо) в порядке убывания?
   
   
3. В классе 26 человек. Каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Все они расселись за парты по двое, и каждый из них сказал: «Я сижу рядом с лжецом». Потом их посадили по‑другому. Мог ли после этого каждый сказать: «Я сижу рядом с рыцарем»?
   
   
4. У пятиугольника \(ABCDE\) все стороны равны. Известно, что периметр треугольника \(ABC\) равен 12 см, периметр треугольника \(ACD\) — 10 см, а периметр треугольника \(ADE\) — 10 см. Найдите периметр пятиугольника.
   
   
5. 7 клеток клетчатого квадрата \(5\times5\) окрашены красным цветом, а остальные 18 — синим. Ровно две красные клетки лежат на краю квадрата. Единичные отрезки, разделяющие две красные клетки, покрашены в красный цвет, а единичные отрезки, разделяющие две синие клетки — в синий. Остальные единичные отрезки, служащие сторонами клеток (в том числе и лежащие на границе квадрата), покрашены в чёрный цвет. Чёрных отрезков всего 35. Сколько всего красных отрезков?
   
   
6. Жители города живут в домах с номерами от 1 до 24 (каждый житель — в своём доме). Некоторые из них дружат между собой. В журнале «National Geographic» написали, что у двух жителей есть общий друг тогда и только тогда, когда номер дома одного из них делится на номер дома другого. Может ли такое быть?

Решения задач

1. На каком месте слева в этом ряду окажется десятый ноль?
   Решение: Десятый ноль находится в числе 100. До числа 99 имеется 9 нулей (в числах 10, 20, ..., 90). Число 100 содержит два нуля, поэтому десятый ноль будет на втором месте в записи числа 100.
   До числа 99 количество цифр: $9$ (однозначные) $+ 90 \cdot 2 = 189$ цифр. После добавления цифр числа 100: $189 + 3 = 192$. Десятый ноль стоит на позиции 192.
   Ответ: 192.
   
   
2. Сколько существует девятизначных чисел с убывающими цифрами?
   Решение: Такие числа соответствуют выбору 9 уникальных цифр из 10 (от 9 до 0) с последующей сортировкой в убывающем порядке. Это сочетание $C(10, 9) = 10$.
   Ответ: 10.
   
   
3. Могли ли рыцари и лжецы пересесть так, чтобы каждый говорил правду?
   Решение: При первой посадке пары «рыцарь—лжец». Изначально рыцарей и лжецов по 13. При второй посадке попытка разделиться на пары «рыцарь—рыцарь» или «лжец—лжец» невозможна, так как 13 — нечётное число.
   Ответ: Нет.
   
   
4. Найдите периметр пятиугольника.
   Решение: Пусть сторона пятиугольника равна $x$. Из уравнений периметров треугольников:
   $2x + AC = 12$, $AC = 4$.
   Для $ACD$: $4 + x + AD = 10$ ⇒ $AD = 6$.
   Для $ADE$: $6 + x + x = 10$ ⇒ $3x = 16 - 6$, $x = 4$.
   Периметр пятиугольника: $5x = 20$ см.
   Ответ: 20 см.
   
   
5. Сколько всего красных отрезков?
   Решение: Общее количество отрезков $60$. Чёрных отрезков $35$, значит красных и синих: $60 - 35 = 25$. Анализ расположения красных клеток показывает, что красных отрезков $7$.
   Ответ: 7.
   
   
6. Может ли существовать описанная система дружбы?
   Решение: Да, если дружба определяется через делители. Например, у жителей с номерами домов $1, 2, 3, ..., 24$ можно установить дружбу так, что общие друзья существуют только при отношении делимости.
   Ответ: Да.