Школа № 1317 из 10 в 11 класс 2017 год вариант 1

ГБОУ ШКОЛА №1317

2017 год

Вариант 1

1. Найдите значение выражения \[ 4\sqrt{625} - 5\cdot\sqrt[3]{27}. \]
2. Найдите значение выражения \[ 14\sin^2 x - 3, \] если \(\cos^2 x = 0.7\).
3. На одной из граней двугранного угла величиной \(30^\circ\) взята точка, находящаяся на расстоянии \(12\) от другой грани данного двугранного угла. Найдите расстояние от указанной точки до ребра этого двугранного угла.
4. Решите уравнение: \[ \sin(\pi + x) = \cos\frac{\pi}{2}. \]
5. Прямая \(y = -4x - 11\) является касательной к графику функции \[ y = x^3 + 7x^2 + 7x - 6. \] Найдите абсциссу точки касания.
   
   
6. Найдите область значений функции \[ y = -8\cos 2x + 3. \]
7. Найдите минимум функции \[ f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + 1. \]
8. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10 дм и 18 дм. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16 дм. Найдите проекцию каждой из наклонных.
   
   
9. С1)
   1. Решите уравнение \[ \cos 2x = \sin\!\Bigl(\tfrac{3\pi}{2} - x\Bigr). \]
   2. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\bigl[\tfrac{3\pi}{2},\,\tfrac{5\pi}{2}\bigr]\).
10. С2) В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) с основанием \(ABC\) сторона основания равна \(8\), а угол \(\angle ASB\) равен \(36^\circ\). На ребре \(SC\) взята точка \(M\) так, что \(AM\) – биссектриса угла \(SAC\). Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки \(A\), \(M\) и \(B\).

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ 4\sqrt{625} - 5\cdot\sqrt[3]{27}. \] Решение: \[ 4\sqrt{625} - 5\cdot\sqrt[3]{27} = 4 \cdot 25 - 5 \cdot 3 = 100 - 15 = 85 \] Ответ: 85.
2. Найдите значение выражения \[ 14\sin^2 x - 3, \] если \(\cos^2 x = 0,7\). Решение: \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - 0,7 = 0,3 \] \[ 14 \cdot 0,3 - 3 = 4,2 - 3 = 1,2 \] Ответ: 1,2.
3. На одной из граней двугранного угла величиной \(30^\circ\) взята точка, находящаяся на расстоянии \(12\) от другой грани. Решение: Расстояние до ребра \( = \frac{12}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{0,5} = 24\). Ответ: 24.
4. Решите уравнение: \[ \sin(\pi + x) = \cos\frac{\pi}{2}. \] Решение: \[ \sin(\pi + x) = -\sin x, \quad \cos\frac{\pi}{2} = 0 \] \[ -\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \(x = \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\).
5. Прямая \(y = -4x - 11\) является касательной к графику функции \[ y = x^3 + 7x^2 + 7x - 6. \] Решение: Производная функции: \[ y' = 3x^2 + 14x + 7 \] Уравнение для касания: \[ 3x^2 + 14x + 7 = -4 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 + 14x + 11 = 0 \] Корни: \[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 132}}{6} = \frac{-14 \pm 8}{6} \quad \Rightarrow \quad x = -1; \, x = -\frac{11}{3} \] Проверка для \(x = -1\): \[ y(-1) = -1 + 7 - 7 - 6 = -7, \quad y = -4(-1) - 11 = -7 \quad \Rightarrow \quad \text{верно} \] Ответ: \(-1\).
6. Найдите область значений функции \[ y = -8\cos 2x + 3. \] Решение: \[ \cos 2x \in [-1; 1] \quad \Rightarrow \quad -8\cos 2x \in [-8; 8] \quad \Rightarrow \quad y \in [-5; 11] \] Ответ: \([-5; 11]\).
7. Найдите минимум функции \[ f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + 1. \] Решение: \[ f'(x) = x^2 - 4x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1; \, x = 3 \] Вторая производная: \[ f''(x) = 2x - 4 \quad \Rightarrow \quad f''(3) = 2 > 0 \quad \text{(min)} \] Значение: \[ f(3) = \frac{27}{3} - 18 + 9 + 1 = 1 \] Ответ: 1.
8. Из точки проведены две наклонные равные 10 дм и 18 дм. Сумма проекций 16 дм. Решение: \[ a + b = 16; \quad a^2 + h^2 = 10^2; \quad b^2 + h^2 = 18^2 \] Вычитая уравнения: \[ b^2 - a^2 = 224 \quad \Rightarrow \quad (b - a)(b + a) = 224 \] \[ 16(b - a) = 224 \quad \Rightarrow \quad b - a = 14 \] Решаем систему: \[ a = 1 \text{ дм}, \quad b = 15 \text{ дм} \] Ответ: 1 дм и 15 дм.
9. С1)
   1. Решите уравнение: \[ \cos 2x = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \] Решение: \[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x \quad \Rightarrow \quad \cos 2x = -\cos x \] \[ 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{1}{2}; \, \cos x = -1 \] \[ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \]
   2. Корни на \(\left[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]\): \[ x = \frac{5\pi}{3}, \quad x = \frac{7\pi}{3} \] Ответ: \(\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}\).
10. С2) В правильной пирамиде \(SABC\): Решение: Сечение \(AMB\) — треугольник. Используя теорему косинусов для нахождения бокового ребра и свойства биссектрисы, площадь сечения: \[ S = 16\sqrt{3} \] Ответ: \(16\sqrt{3}\).