Школа № 1210 из 4 в 5 класс 2023 год вариант 1

Школа № 1210

2023

24.03.2023

1. Делится ли число $81 \cdot 51 \cdot 91 \cdot 31 \cdot 41 - 1$ на 10? ($*$ — это умножение)
   
   
2. К числу 73 приписайте слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45. Найдите все варианты решения.
   
   
3. К числу 41 приписайте справа и слева по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.
   
   
4. Приписать справа к числу 32 такое двузначное число, чтобы полученное четырёхзначное число делилось на 21. Найти все решения.
   
   
5. Произведение каких четырёх натуральных последовательных чисел является числом 3024?
   
   
6. Подряд без пробелов выписали несколько чётных чисел. Получилось число 1214161820242228303234. Делится ли оно на 24?
   
   
7. Замените звёздочки в записи числа 82$*$3$*$ цифрами так, чтобы полученное число делилось без остатка на 36.

Решения задач

1. Делится ли число $81 \cdot 51 \cdot 91 \cdot 31 \cdot 41 - 1$ на 10? ($*$ — это умножение)
   Решение: Для проверки делимости на 10 достаточно определить последнюю цифру числа. Последние цифры множителей: 1, 1, 1, 1, 1. Их произведение оканчивается на 1. Вычитая 1, получаем число, оканчивающееся на 0. Следовательно, число делится на 10.
   Ответ: Да.
2. К числу 73 приписайте слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45. Найдите все варианты решения.
   Решение: Число должно делиться на 5 и 9. Последняя цифра — 0 или 5.
   • Если последняя цифра 0: число вида $a730$. Сумма цифр $a + 7 + 3 + 0 = a + 10$ должна делиться на 9. $a = 8$ (число 8730).
   • Если последняя цифра 5: число вида $a735$. Сумма цифр $a + 7 + 3 + 5 = a + 15$ должна делиться на 9. $a = 3$ (число 3735).
   Ответ: 8730 и 3735.
3. К числу 41 приписайте справа и слева по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.
   Решение: Число должно делиться на 8 и 9. Последние три цифры $41y$ должны делиться на ем $ем $ем $416 \div 8 = 52$. Тогда $y = 6$. Сумма цифр $x + 4 + 1 + 6 = x + 11$ должна делиться на 9. $x = 7$ (число 7416).
   Ответ: 7416.
4. Приписать справа к числу 32 такое двузначное число, чтобы полученное четырёхзначное число делилось на 21. Найти все решения.
   Решение: Число $32ab$ должно делиться на 3 и 7. Сумма цифр $3 + 2 + a + b$ делится на 3. Перебираем двузначные числа $ab$, чтобы $3200 + ab$ делилось на 21. Подходят: 13, 34, 55, 76, 97.
   Ответ: 3213, 3234, 3255, 3276, 3297.
5. Произведение каких четырёх натуральных последовательных чисел является числом 3024?
   Решение: Проверяем числа вокруг примерного корня $\sqrt[4]{3024} \approx 7$: $6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 3024$.
   Ответ: 6, 7, 8, 9.
6. Подряд без пробелов выписали несколько чётных чисел. Получилось число 1214161820242228303234. Делится ли оно на 24?
   Решение: Для делимости на 24 число должно делиться на 3 и 8. Сумма цифр: 1+2+1+4+1+6+1+8+2+0+2+4+2+2+2+8+3+0+3+2+3+4 = 59. 59 не делится на 3. Следовательно, число не делится на 24.
   Ответ: Нет.
7. Замените звёздочки в записи числа 82$*$3$*$ цифрами так, чтобы полученное число делилось без остатка на 36.
   Решение: Число должно делиться на 4 и 9. Последние две цифры $3b$ должны делиться на 4: $b = 2$ или $6$.
   • При $b = 2$: сумма цифр $8 + 2 + a + 3 + 2 = 15 + a$ должна делиться на 9. $a = 3$ (число 82332).
   • При $b = 6$: сумма цифр $8 + 2 + a + 3 + 6 = 19 + a$ должна делиться на 9. $a = 8$ (36). 36).
   Ответ: 82332 и 82836.