Школа № 1210 из 4 в 5 класс 2022 год вариант 1

Школа № 1210

2022

23.03.2022

1. Делится ли число $31 \times 11 \times 61 \times 41 \times 31 - 1$ на 10?
2. К числу 42 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. Найдите все варианты решения.
3. Делится ли на 9 число $10^{72} + 89$?
4. Приписать справа к числу 32 такое двузначное число, чтобы полученное 4-значное число делилось на 31. Найти все решения.
5. Произведение каких четырёх натуральных последовательных чисел является числом 3024?

Решения задач

1. Делится ли число $31 \times 11 \times 61 \times 41 \times 31 - 1$ на 10?
   Решение: Для проверки делимости на 10 достаточно определить последнюю цифру числа. Рассмотрим произведение по модулю 10:
   $31 \equiv 1 \pmod{10}$, $11 \equiv 1 \pmod{10}$, $61 \equiv 1 \pmod{10}$, $41 \equiv 1 \pmod{10}$, $31 \equiv 1 \pmod{10}$.
   Произведение: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \pmod{10}$.
   Тогда $1 - 1 = 0 \pmod{10}$. Последняя цифра равна 0, значит число делится на 10.
   Ответ: Да.
2. К числу 42 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. Найдите все варианты решения.
   Решение: Число должно делиться на 15 (т.е. на 3 и на 5). Для делимости на 5 последняя цифра может быть 0 или 5. Рассмотрим оба случая:
   Случай 1: Число имеет вид $\overline{a42b}$, где $b = 0$. Сумма цифр: $a + 4 + 2 + 0 = a + 6$. Для делимости на 3: $a + 6 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow a \equiv 0 \pmod{3}$. Возможные значения $a$: 3, 6, 9. Получаем числа 3420, 6420, 9420.
   Случай 2: Число имеет вид $\overline{a42b}$, где $b = 5$. Сумма цифр: $a + 4 + 2 + 5 = a + 11$. Для делимости на 3: $a + 11 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow a \equiv 1 \pmod{3}$. Возможные значения $a$: 1, 4, 7. Получаем числа 1425, 4425, 7425.
   Ответ: 3420, 6420, 9420, 1425, 4425, 7425.
3. Делится ли на 9 число $10^{72} + 89$?
   Решение: Для делимости на 9 сумма цифр числа должна делиться на 9. Число $10^{72}$ записывается как 1 с 72 нулями. Прибавляя 89, получим число вида $1\underbrace{00\ldots0}_{70}89$. Сумма цифр: $1 + 8 + 9 = 18$, что делится на 9.
   Ответ: Да.
4. Приписать справа к числу 32 такое двузначное число, чтобы полученное 4-значное число делилось на 31. Найти все решения.
   Решение: Искомое число имеет вид $32ab$, где $ab$ — двузначное число. Требуется, чтобы $3200 + ab \equiv 0 \pmod{31}$. Найдём остаток от деления 3200 на 31:
   $3200 \div 31 = 103 \cdot 31 = 3193$, остаток $3200 - 3193 = 7$.
   Тогда $ab \equiv -7 \equiv 24 \pmod{31}$. Возможные двузначные значения $ab$: 24, 55, 86.
   Проверка:
   $3224 \div 31 = 104$, $3255 \div 31 = 105$, $3286 \div 31 = 106$.
   Ответ: 24, 55, 86.
5. Произведение каких четырёх натуральных последовательных чисел является числом 3024?
   Решение: Подберём числа методом перебора. Проверим числа 6, 7, 8, 9:
   $6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 3024$.
   Ответ: 6, 7, 8, 9.