Школа № 1210 из 4 в 5 класс 2022 год вариант 1
youit.school ©
Школа № 1210
2022
06.04.2022
- Не выполняя никаких арифметических действий, определите чётность результата:
- 123 $\times$ 117 + 1458;
- 1178 $\times$ 67685 $-$ 12 $\times$ 157 + 11 $\times$ 13 $\times$ 9 + 23 + 1 $-$ 56 $\times$ 55 $\times$ 15;
- (13 + 158) $\times$ (234 $-$ 65) + (40 $-$ 17) $\times$ 12 $\times$ (360 $-$ 135) $\times$ (679 $-$ 50) $-$ 165 $\times$ 13 $\times$ 17.
- В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
- Вася перемножил 17 целых чисел и получил 1025, а Стёпа сложил эти же числа и получил 100. Докажите, что кто-то из них ошибся.
- Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могли ли получить 20092009?
- Разность двух целых чисел умножили на их сумму. Могли ли получить 4012?
- На чудо-дереве растет 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимает с дерева ровно два фрукта. Если он снимает одинаковые фрукты, то на дереве появляется новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов на дереве останется только один фрукт. Какой?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
-
- 123 $\times$ 117 + 1458
Решение:
123 (нечёт) $\times$ 117 (нечёт) = нечёт $\times$ нечёт = нечёт
1458 (чёт) $\Rightarrow$ нечёт + чёт = нечёт
Ответ: результат нечётный. - 1178 $\times$ 67685 $-$ 12 $\times$ 157 + 11 $\times$ 13 $\times$ 9 + 23 + 1 $-$ 56 $\times$ 55 $\times$ 15
Решение:
1178 (чёт) $\times$ любое = чёт; 12 (чёт) $\times$ любое = чёт; 11$\times$13$\times$9 (все нечёт) = нечёт; 23+1 = 24 (чёт); 56$\times$55$\times$15 = чёт
Чёт $-$ чёт + нечёт + чёт $-$ чёт = нечёт
Ответ: результат нечётный. - (13 + 158) $\times$ (234 $-$ 65) + (40 $-$ 17) $\times$ 12 $\times$ (360 $-$ 135) $\times$ (679 $-$ 50) $-$ 165 $\times$ 13 $\times$ 17
Решение:
(13+158=171 (нечёт)) $\times$ (234-65=169 (нечёт)) = нечёт $\times$ нечёт = нечёт
(40-17=23 (нечёт)) $\times$ 12 (чёт) $\times$ (360-135=225 (нечёт)) $\times$ (679-50=629 (нечёт)) = нечёт $\times$ чёт = чёт
165$\times$13$\times$17 (все нечёт) = нечёт
нечёт + чёт $-$ нечёт = чёт
Ответ: результат чётный.
- 123 $\times$ 117 + 1458
- В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
Решение: Сумма чисел от 1 до 10 равна 55. Чтобы получить ноль, сумма с учётом знаков должна быть чётной (55 — нечётное). При замене знака у числа сумма уменьшается на 2k (k — значение числа). 55 $-$ 2k остаётся нечётным. Невозможно получить 0.
Ответ: нельзя. - Вася перемножил 17 целых чисел и получил 1025, а Стёпа сложил эти же числа и получил 100. Докажите, что кто-то из них ошибся.
Решение: 1025 = 5² $\times$ 41. Для получения такого произведения одно из чисел должно быть 41 или -41. Тогда сумма остальных 16 чисел должна быть 100 $\pm$41 = 59 или 141. Минимальная сумма 16 чисел: -16 (все -1), максимальная: 16 (все 1). 59 и 141 вне этого диапазона.
Ответ: ошибся Вася. - Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могли ли получить 20092009?
Решение: 20092009 — нечётное. Для нечётности (a-b)ab все три множителя должны быть нечётными. Но если a и b нечётны, то a-b чётно. Противоречие.
Ответ: нет. - Разность двух целых чисел умножили на их сумму. Могли ли получить 4012?
Решение: a² $-$ b² = 4012. Пример: a=1004, b=1002. 1004² $-$ 1002² = (1004-1002)(1004+1002) = 2 $\times$ 2006 = 4012.
Ответ: да. - На чудо-дереве растет 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимает с дерева ровно два фрукта. Если он снимает одинаковые фрукты, то на дереве появляется новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов на дереве останется только один фрукт. Какой?
Решение: Чётность апельсинов всегда сохраняется (изначально 30 — чётное). Последний фрукт не может быть апельсином (нечётное количество).
Ответ: банан.
Материалы школы Юайти