Школа № 1210 из 4 в 5 класс 2022 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 04.2022
Сложность:
Дата экзамена: 04.2022
youit.school ©

Школа № 1210


2022


06.04.2022



  1. Не выполняя никаких арифметических действий, определите чётность результата:
    1. 123 $\times$ 117 + 1458;
    2. 1178 $\times$ 67685 $-$ 12 $\times$ 157 + 11 $\times$ 13 $\times$ 9 + 23 + 1 $-$ 56 $\times$ 55 $\times$ 15;
    3. (13 + 158) $\times$ (234 $-$ 65) + (40 $-$ 17) $\times$ 12 $\times$ (360 $-$ 135) $\times$ (679 $-$ 50) $-$ 165 $\times$ 13 $\times$ 17.
  2. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
  3. Вася перемножил 17 целых чисел и получил 1025, а Стёпа сложил эти же числа и получил 100. Докажите, что кто-то из них ошибся.
  4. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могли ли получить 20092009?
  5. Разность двух целых чисел умножили на их сумму. Могли ли получить 4012?
  6. На чудо-дереве растет 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимает с дерева ровно два фрукта. Если он снимает одинаковые фрукты, то на дереве появляется новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов на дереве останется только один фрукт. Какой?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. 123 $\times$ 117 + 1458
      Решение:
      123 (нечёт) $\times$ 117 (нечёт) = нечёт $\times$ нечёт = нечёт
      1458 (чёт) $\Rightarrow$ нечёт + чёт = нечёт
      Ответ: результат нечётный.
    2. 1178 $\times$ 67685 $-$ 12 $\times$ 157 + 11 $\times$ 13 $\times$ 9 + 23 + 1 $-$ 56 $\times$ 55 $\times$ 15
      Решение:
      1178 (чёт) $\times$ любое = чёт; 12 (чёт) $\times$ любое = чёт; 11$\times$13$\times$9 (все нечёт) = нечёт; 23+1 = 24 (чёт); 56$\times$55$\times$15 = чёт
      Чёт $-$ чёт + нечёт + чёт $-$ чёт = нечёт
      Ответ: результат нечётный.
    3. (13 + 158) $\times$ (234 $-$ 65) + (40 $-$ 17) $\times$ 12 $\times$ (360 $-$ 135) $\times$ (679 $-$ 50) $-$ 165 $\times$ 13 $\times$ 17
      Решение:
      (13+158=171 (нечёт)) $\times$ (234-65=169 (нечёт)) = нечёт $\times$ нечёт = нечёт
      (40-17=23 (нечёт)) $\times$ 12 (чёт) $\times$ (360-135=225 (нечёт)) $\times$ (679-50=629 (нечёт)) = нечёт $\times$ чёт = чёт
      165$\times$13$\times$17 (все нечёт) = нечёт
      нечёт + чёт $-$ нечёт = чёт
      Ответ: результат чётный.
  1. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
    Решение: Сумма чисел от 1 до 10 равна 55. Чтобы получить ноль, сумма с учётом знаков должна быть чётной (55 — нечётное). При замене знака у числа сумма уменьшается на 2k (k — значение числа). 55 $-$ 2k остаётся нечётным. Невозможно получить 0.
    Ответ: нельзя.
  2. Вася перемножил 17 целых чисел и получил 1025, а Стёпа сложил эти же числа и получил 100. Докажите, что кто-то из них ошибся.
    Решение: 1025 = 5² $\times$ 41. Для получения такого произведения одно из чисел должно быть 41 или -41. Тогда сумма остальных 16 чисел должна быть 100 $\pm$41 = 59 или 141. Минимальная сумма 16 чисел: -16 (все -1), максимальная: 16 (все 1). 59 и 141 вне этого диапазона.
    Ответ: ошибся Вася.
  3. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могли ли получить 20092009?
    Решение: 20092009 — нечётное. Для нечётности (a-b)ab все три множителя должны быть нечётными. Но если a и b нечётны, то a-b чётно. Противоречие.
    Ответ: нет.
  4. Разность двух целых чисел умножили на их сумму. Могли ли получить 4012?
    Решение: a² $-$ b² = 4012. Пример: a=1004, b=1002. 1004² $-$ 1002² = (1004-1002)(1004+1002) = 2 $\times$ 2006 = 4012.
    Ответ: да.
  5. На чудо-дереве растет 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимает с дерева ровно два фрукта. Если он снимает одинаковые фрукты, то на дереве появляется новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов на дереве останется только один фрукт. Какой?
    Решение: Чётность апельсинов всегда сохраняется (изначально 30 — чётное). Последний фрукт не может быть апельсином (нечётное количество).
    Ответ: банан.
Материалы школы Юайти