Школа № 1210 из 4 в 5 класс 2021 год вариант 1

Школа № 1210

2021

17.04.2021

1. Замените звёздочки двумя одинаковыми цифрами так, чтобы число $5*7*$ делилось на 6. Найдите все решения.
   
   
2. К числу 78 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45. Найдите все варианты решения.
   
   
3. К числу 12 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.
   
   
4. Подряд без пробелов выписали все чётные числа от 14 до 34. Получилось число $1416182022242628303234$. Делится ли оно на 24?
   
   
5. Приписать справа к числу 32 такое двузначное число, чтобы полученное 4-значное число делилось на 21. Найти все решения.
   
   
6. Произведение каких четырёх натуральных последовательных чисел является числом 3024?

Решения задач

1. Замените звёздочки двумя одинаковыми цифрами так, чтобы число $5*7*$ делилось на 6. Найдите все решения.
   Решение: Число делится на 6, если делится на 2 и на 3. Последняя цифра должна быть чётной. Пусть заменяемые звёздочки равны $x$. Тогда число имеет вид $5x7x$. Сумма цифр: $5 + x + 7 + x = 12 + 2x$. Для делимости на 3 сумма должна делиться на 3. Проверим возможные чётные $x$:
   $x = 0$: сумма $12 + 0 = 12$ (делится на 3) → число 5070.
   $x = 3$: нечётное, не подходит.
   $x = 6$: сумма $12 + 12 = 24$ (делится на 3) → число 5676.
   Ответ: 5070 и 5676.
2. К числу 78 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45. Найдите все варианты решения.
   Решение: Число делится на 45, если делится на 9 и на 5. Последняя цифра — 0 или 5. Пусть число имеет вид $a78b$.
   Случай 1: $b = 0$. Сумма цифр: $a + 7 + 8 + 0 = a + 15$. Для делимости на 9: $a + 15$ должно делиться на 9 → $a = 3$. Число: 3780.
   Случай 2: $b = 5$. Сумма цифр: $a + 7 + 8 + 5 = a + 20$. Для делимости на 9: $a = 7$. Число: 7785.
   Ответ: 3780 и 7785.
3. К числу 12 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.
   Решение: Число должно делиться на 8 и 9. Последние три цифры должны делиться на 8. Пусть число имеет вид $a12b$. Последние три цифры: $12b$. Проверяем делимость на 8:
   $120$ делится на 8 → $b = 0$. Сумма цифр: $a + 1 + 2 + 0 = a + 3$. Для делимости на 9: $a = 6$ → число 6120.
   $128$ делится на 8 → $b = 8$. Сумма цифр: $a + 1 + 2 + 8 = a + 11$. Для делимости на 9: $a = 7$ → число 7128.
   Ответ: 6120 и 7128.
4. Подряд без пробелов выписали все чётные числа от 14 до 34. Получилось число $1416182022242628303234$. Делится ли оно на 24?
   Решение: Число делится на 24, если делится на 3 и 8. Сумма цифр: $1+4+1+6+1+8+2+0+2+2+2+4+2+6+2+8+3+0+3+2+3+4 = 64$. 64 не делится на 3 → число не делится на 24.
   Ответ: Нет.
5. Приписать справа к числу 32 такое двузначное число, чтобы полученное 4-значное число делилось на 21. Найти все решения.
   Решение: Число имеет вид $32ab$. Для делимости на 21 сумма цифр $3 + 2 + a + b$ должна делиться на 3, а само число — на 7. Перебором находим:
   $3234$: $3234 : 21 = 154$ (делится). Сумма цифр: $3 + 2 + 3 + 4 = 12$ (делится на 3).
   $3276$: $3276 : 21 = 156$ (делится). Сумма цифр: $3 + 2 + 7 + 6 = 18$ (делится на 3).
   Ответ: 3234 и 3276.
6. Произведение каких четырёх натуральных последовательных чисел является числом 3024?
   Решение: Проверим числа вокруг примерного корня четвертой степени из 3024 (~7,4):
   $6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 3024$.
   Ответ: 6, 7, 8, 9.