Школа № 1210 из 4 в 5 класс 2020 год вариант 1

Школа № 1210

2020

05.06.2020

1. Делится ли число \( 31 \cdot 11 \cdot 61 \cdot 41 \cdot 31 - 1 \) на 10?
   
   
2. К числу 42 приписайте слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. Найдите все решения.
   
   
3. К числу 11 приписайте справа и слева по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.
   
   
4. Делится ли на 9 число \(10^7 + 489\)?
   
   
5. Приписать справа к числу 32 такое двузначное число, чтобы полученное четырёхзначное число делилось на 31. Найти все решения.
   
   
6. Произведением каких четырёх натуральных последовательных чисел является число 3024?

Решения задач

1. Делится ли число \( 31 \cdot 11 \cdot 61 \cdot 41 \cdot 31 - 1 \) на 10?
   Решение: Для проверки делимости на 10 достаточно определить последнюю цифру числа. Рассмотрим произведение по модулю 10:
   \(31 \equiv 1 \mod 10\), \(11 \equiv 1 \mod 10\), \(61 \equiv 1 \mod 10\), \(41 \equiv 1 \mod 10\), \(31 \equiv 1 \mod 10\).
   Произведение: \(1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \mod 10\).
   Тогда \(1 - 1 = 0 \mod 10\). Следовательно, число делится на 10.
   Ответ: Да.
2. К числу 42 приписайте слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. Найдите все решения.
   Решение: Число должно делиться на 3 и 5. Последняя цифра (делимость на 5) может быть 0 или 5. Формат числа: \(a42b\).
   
   • При \(b = 0\): сумма цифр \(a + 4 + 2 + 0 = a + 6\) должна делиться на 3. \(a = 3, 6, 9\). Числа: 3420, 6420, 9420.
   • При \(b = 5\): сумма цифр \(a + 4 + 2 + 5 = a + 11\) должна делиться на 3. \(a = 1, 4, 7\). Числа: 1425, 4425, 7425.
   Ответ: 3420, 6420, 9420, 1425, 4425, 7425.
3. К числу 11 приписайте справа и слева по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.
   Решение: Число должно делиться на 8 и 9. Формат числа: \(a11b\).
   Для делимости на 8: последние три цифры \(11b\) должны делиться на 8. Подходит \(b = 2\) (112 делится на 8).
   Сумма цифр: \(a + 1 + 1 + 2 = a + 4\) должна делиться на 9. \(a = 5\) (5 + 4 = 9).
   Ответ: 5112.
4. Делится ли на 9 число \(10^7 + 489\)?
   Решение: Сумма цифр числа \(10000489\) равна \(1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 8 + 9 = 22\).
   Поскольку 22 не делится на 9, число не делится на 9.
   Ответ: Нет.
5. Приписать справа к числу 32 такое двузначное число, чтобы полученное четырёхзначное число делилось на 31. Найти все решения.
   Решение: Число имеет вид \(32ab\). Уравнение: \(3200 + 10a + b \equiv 0 \mod 31\).
   \(3200 \equiv 7 \mod 31\), тогда \(10a + b \equiv 24 \mod 31\).
   Решения: \(10a + b = 24, 55, 86\). Подходящие двузначные числа: 24, 55, 86.
   Ответ: 24, 55, 86.
6. Произведением каких четырёх натуральных последовательных чисел является число 3024?
   Решение: Проверим числа вокруг 7 (так как \(7^4 = 2401\), близко к 3024):
   \(6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 3024\).
   Ответ: 6, 7, 8, 9.