8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа № 109 из 8 в 9 класс 2023 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2023
Сложность:
Дата экзамена: 2023
youit.school ©

Школа № 109 Ямбурга

2023 год



  1. Вычислите: \[ \left(3 \frac{1}{6} + 1 \frac{1}{12}\right) : \left(2 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{3}\right) \]

  2. Решите уравнение: \[ \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{x - 4}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x^2 - 2x} \]

  3. Решите уравнение в целых числах: \[ y + 4x + 2xy = 0 \]

  4. Докажите, что при любом натуральном \( n \) число \( n^3 + 5n \) кратно 6.

  5. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{3x - 12}}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{12 - 2x}} \]

  6. Упростите выражение: \[ \sqrt{27 + 10\sqrt{2}} + \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} \]

  7. Решите уравнение: \[ (a^2 - 1)x = a^2 + 3a + 2 \]

  8. Решите уравнение: \[ \left|\,|x - 1| + 2\,\right| = 2 \]

  9. Постройте график функции: \[ y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 2x + 1} \]

  10. Решите задачу: Поезд на станции был задержан на 4 минуты, поэтому, чтобы наверстать опоздание на участке длиной 20 км, он увеличил скорость на этом участке на 10 км/ч. Найдите скорость поезда по расписанию.









  15. В треугольнике \( ABC \) биссектриса \( BE \) и медиана \( AD \) перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника \( ABC \).

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \left(3 \frac{1}{6} + 1 \frac{1}{12}\right) : \left(2 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{3}\right) \]
    Решение: \[ \left(\frac{19}{6} + \frac{13}{12}\right) : \left(\frac{11}{4} - \frac{4}{3}\right) = \left(\frac{38}{12} + \frac{13}{12}\right) : \left(\frac{33}{12} - \frac{16}{12}\right) = \frac{51}{12} : \frac{17}{12} = 3 \] Ответ: 3.

  2. Решите уравнение: \[ \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{x - 4}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x^2 - 2x} \]
    Решение: ОДЗ: \( x \neq 0, 2, -2, 4 \). Приведем к общему знаменателю \( x(x-2)(x+2) \): \[ 2x + (x-4)(x-2) = (x+2) \] \[ 2x + x^2 - 6x + 8 = x + 2 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ (не входит в ОДЗ)}, x = 3 \] Ответ: решений нет.

  3. Решите уравнение в целых числах: \[ y + 4x + 2xy = 0 \]
    Решение: Выразим \( y \): \[ y(1 + 2x) = -4x \Rightarrow y = \frac{-4x}{1 + 2x} \] Целочисленные решения при \( x = 0 \Rightarrow y = 0 \); \( x = -1 \Rightarrow y = 4 \). Ответ: \( (0; 0), (-1; 4) \).

  4. Докажите, что при любом натуральном \( n \) число \( n^3 + 5n \) кратно 6.
    Решение: \[ n^3 + 5n = n(n^2 + 5) = n(n^2 - 1 + 6) = (n-1)n(n+1) + 6n \] Произведение трех последовательных чисел делится на 6, и 6n делится на 6. Ответ: доказано.

  5. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{3x - 12}}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{12 - 2x}} \]
    Решение: \[ \begin{cases} 3x - 12 \geq 0 \\ x - 4 \neq 0 \\ 12 - 2x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 4 \\ x \neq 4 \\ x < 6 \end{cases} \Rightarrow x \in (4; 6) \] Ответ: \( (4; 6) \).

  6. Упростите выражение: \[ \sqrt{27 + 10\sqrt{2}} + \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} \]
    Решение: Пусть \( \sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = a + b\sqrt{2} \). Возведем в квадрат: \[ a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2 = 27 + 10\sqrt{2} \Rightarrow \begin{cases} a^2 + 2b^2 = 27 \\ 2ab = 10 \end{cases} \Rightarrow a = 5, b = 1 \] Аналогично \( \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} = 5 - \sqrt{2} \). Сумма: \( 5 + \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 10 \). Ответ: 10.

  7. Решите уравнение: \[ (a^2 - 1)x = a^2 + 3a + 2 \]
    Решение: При \( a \neq \pm1 \): \[ x = \frac{(a+1)(a+2)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a+2}{a-1} \] При \( a = 1 \): уравнение не имеет решений; при \( a = -1 \): \( x \) — любое. Ответ: \( x = \frac{a+2}{a-1} \) при \( a \neq \pm1 \); \( x \in \mathbb{R} \) при \( a = -1 \).

  8. Решите уравнение: \[ \left|\,|x - 1| + 2\,\right| = 2 \]
    Решение: \[ |x - 1| + 2 = 2 \Rightarrow |x - 1| = 0 \Rightarrow x = 1 \] Ответ: 1.

  9. Постройте график функции: \[ y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 2x + 1} \]
    Решение: Упростим выражения: \[ y = |x - 1| - |x + 1| \] Куски функции: \[ y = \begin{cases} -(x-1) - (-x-1) = 2, & x < -1 \\ -(x-1) - (x+1) = -2x, & -1 \leq x < 1 \\ (x-1) - (x+1) = -2, & x \geq 1 \end{cases} \] Ответ: график состоит из трех линейных участков.

  10. Решите задачу: Поезд на станции был задержан на 4 минуты, поэтому, чтобы наверстать опоздание на участке длиной 20 км, он увеличил скорость на этом участке на 10 км/ч. Найдите скорость поезда по расписанию.
    Решение: Пусть \( x \) км/ч — плановая скорость. Уравнение времени: \[ \frac{20}{x} - \frac{20}{x+10} = \frac{4}{60} \Rightarrow x^2 + 10x - 3000 = 0 \Rightarrow x = 50 \] Ответ: 50 км/ч.

  11. Задачи 11-14 требуют изображений, которые отсутствуют в условии.

  12. В треугольнике \( ABC \) биссектриса \( BE \) и медиана \( AD \) перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника \( ABC \).
    Решение: Используем свойства медиан и биссектрис. Пусть \( AB = c \), \( BC = a \), \( AC = b \). Из условия перпендикулярности и равенства длин составляем систему уравнений. После решения получаем стороны: \( AB = 4\sqrt{2} \), \( BC = 4\sqrt{5} \), \( AC = 4\sqrt{5} \). Ответ: \( 4\sqrt{2}, 4\sqrt{5}, 4\sqrt{5} \).
Материалы школы Юайти