8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа № 109 из 7 в 8 класс 2022 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Сложность:
Дата экзамена: 2022
youit.school ©

Школа № 109 Ямбурга

2022 год



  1. Вычислите: \[ \left( 8\frac{7}{12} - 2\frac{17}{36} \right) \cdot 2{,}7 - 4\frac{1}{3} : 0{,}65 = \ldots \]

  2. Упростите выражение: \[ 2a(a^2 + b^2) - a(a - b)^2 + a(b + a)^2 - 2a^3 \]

  3. Разложите на множители: \[ 66666x + 44x6663 \]

  4. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 3}{3} + \frac{7x - 13}{6} + \frac{5 - 2x}{2} = x - 1 \]

  5. Задайте формулу прямой \( y = kx + b \), если известно, что она параллельна прямой \( y = 3x - 100 \) и проходит через точку \( A(1;6) \).

  6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\ \frac{x}{4} + \frac{2y}{3} = 8 \end{cases} \]

  7. Задача: В столовую привезли картофель, упакованный в пакеты по 3 кг. Если бы он был упакован в пакеты по 5 кг, то понадобилось бы на 8 пакетов меньше. Сколько кг картофеля привезли в столовую?

  8. Укажите номера верных утверждений:
    1. Образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей односторонние углы равны.
    2. Существует треугольник со сторонами 2, 8, 6.
    3. Если расстояние между центрами двух окружностей равно 9, а их радиусы 2 и 6, то окружности не имеют общих точек.


  9. Сделайте чертёж и решите задачу: На стороне \( PC \) треугольника \( PKC \) расположены точки \( A \) и \( B \) так, что \( AP = AK \) и \( KB = BC \). При этом оказалось, что угол \( \angle AKB = 40^\circ \). Найдите угол \( \angle PKC \).

  10. Сделайте чертёж и решите задачу: В треугольнике \( ABC \) угол \( B = 30^\circ \), угол \( A = 120^\circ \). Из вершины \( B \) проведена высота \( BH \), при этом оказалось, что \( HC = 12 \). Найдите расстояние от точки \( A \) до прямой \( BC \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \left( 8\frac{7}{12} - 2\frac{17}{36} \right) \cdot 2{,}7 - 4\frac{1}{3} : 0{,}65 \] Решение: \[ 8\frac{7}{12} = \frac{103}{12}, \quad 2\frac{17}{36} = \frac{89}{36} \] \[ \frac{103}{12} - \frac{89}{36} = \frac{309 - 89}{36} = \frac{220}{36} = \frac{55}{9} \] \[ \frac{55}{9} \cdot 2{,}7 = \frac{55}{9} \cdot \frac{27}{10} = \frac{33}{2} = 16{,}5 \] \[ 4\frac{1}{3} : 0{,}65 = \frac{13}{3} : \frac{13}{20} = \frac{13}{3} \cdot \frac{20}{13} = \frac{20}{3} \approx 6{,}6667 \] \[ 16{,}5 - \frac{20}{3} = \frac{99}{6} - \frac{40}{6} = \frac{59}{6} = 9\frac{5}{6} \] Ответ: \( \frac{59}{6} \) или \( 9\frac{5}{6} \).

  2. Упростите выражение: \[ 2a(a^2 + b^2) - a(a - b)^2 + a(b + a)^2 - 2a^3 \] Решение: \[ 2a^3 + 2ab^2 - a(a^2 - 2ab + b^2) + a(b^2 + 2ab + a^2) - 2a^3 \] \[ = 2a^3 + 2ab^2 - a^3 + 2a^2b - ab^2 + ab^2 + 2a^2b + a^3 - 2a^3 \] \[ = 4a^2b + 2ab^2 = 2ab(2a + b) \] Ответ: \( 2ab(2a + b) \).

  3. Разложите на множители: \[ 66666x + 44x6663 \] Решение: \[ 66666x + 44 \cdot 6663x = x(66666 + 44 \cdot 6663) \] \[ 66666 + 44 \cdot 6663 = 66666 + 293172 = 359838 \] \[ 359838 = 6 \cdot 59973 = 6 \cdot 3 \cdot 19991 = 18 \cdot 19991 \] Ответ: \( 18 \cdot 19991x \).

  4. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 3}{3} + \frac{7x - 13}{6} + \frac{5 - 2x}{2} = x - 1 \] Решение: \[ 2(2x - 3) + (7x - 13) + 3(5 - 2x) = 6(x - 1) \] \[ 4x - 6 + 7x - 13 + 15 - 6x = 6x - 6 \] \[ 5x - 4 = 6x - 6 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Ответ: \( x = 2 \).

  5. Задайте формулу прямой \( y = kx + b \), параллельной \( y = 3x - 100 \) и проходящей через \( A(1;6) \). Решение: \[ k = 3, \quad 6 = 3 \cdot 1 + b \quad \Rightarrow \quad b = 3 \] Ответ: \( y = 3x + 3 \).

  6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\ \frac{x}{4} + \frac{2y}{3} = 8 \end{cases} \] Решение: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ 3x + 8y = 96 \end{cases} \] \[ 10y = 90 \quad \Rightarrow \quad y = 9, \quad x = 8 \] Ответ: \( (8; 9) \).

  7. Задача о картофеле: Решение: Пусть \( x \) — количество пакетов по 3 кг: \[ 3x = 5(x - 8) \quad \Rightarrow \quad x = 20 \] \[ 3 \cdot 20 = 60 \text{ кг} \] Ответ: 60 кг.

  8. Верные утверждения:
    1. Неверно (односторонние углы в сумме 180°).
    2. Неверно (2 + 6 = 8 — вырожденный треугольник).
    3. Верно (расстояние 9 > 2 + 6).
    Ответ: 3.

  9. Геометрическая задача с треугольником \( PKC \): Решение: \[ \triangle APK \text{ и } \triangle BKC \text{ — равнобедренные} \] \[ \angle AKB = 40^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle PKC = 80^\circ \] Ответ: \( 80^\circ \).

  10. Геометрическая задача с треугольником \( ABC \): Решение: \[ BH = HC \cdot \tan 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \] \[ BC = 2 \cdot BH = 8\sqrt{3}, \quad S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BH \] \[ AB = 8, \quad AH = \frac{16\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 4 \] Ответ: 4.
Материалы школы Юайти