Школа Летово из 8 в 9 класс 2025 год демовариант

1. Вычислите $(-0,4)^{-2}$. Ответ запишите десятичной дробью.
2. Вычислите $\displaystyle \frac{2\sqrt{14}-6}{\sqrt{28}-\sqrt{18}} \;-\;\frac{4}{\sqrt{8}}$.
3. Точки $M$ и $N$ ― основания перпендикуляров, опущенных из вершины $B$ ромба $ABCD$ на стороны $AD$ и $CD$. Найдите углы треугольника $BMN$, если угол ромба при вершине $A$ равен $40^\circ$. В ответе укажите градусную меру наибольшего угла.
4. Сколько граммов воды нужно долить в сосуд, содержащий 240~г солевого раствора, концентрация соли в котором составляет $12{,}5\%$, чтобы концентрация соли стала $10\%$. (считайте, что первоначально раствор состоял только из соли и воды)
5. Упростите выражение \[ \Bigl(\tfrac{1}{4-x^2} + \tfrac{1}{(x-2)^2}\Bigr) : \Bigl(\tfrac{x^2-4}{10+5x}\Bigr)^2. \]
6. Котёнок Гав может съесть вкусную сосиску за 9 секунд, а его друг, щенок Шарик, только за 11 секунд. Сегодня утром они нашли целых 40 сосисок. Сколько времени потребуется котёнку и щенку, чтобы вместе уничтожить добычу? Ответ дайте в секундах.
7. Решите уравнение \[ \frac{(x-2)\,(x^2+2x-8)}{x^2-4} = 0. \] В ответ запишите больший из корней, если их несколько.
8. В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ равна 12. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного прямоугольника.
9. Найдите значение выражения \[ \frac{1}{3n} + \frac{1}{3m}, \] если $m$ и $n$ — корни уравнения $5x^2+9x+2=0$.
10. Вычислите значение выражения \[ (\sqrt{3}-2)\,\sqrt{7+4\sqrt{3}}. \]
11. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая $n$, перпендикулярная его медиане $BD$, которая делит эту медиану пополам. Найдите отношение сторон $AB$ и $AC$. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
12. Средний возраст игроков футбольной сборной, в которой было 11 человек, составлял 24 года. В начале сезона в клуб пришёл новый талантливый молодой игрок. Сколько ему было лет, если вместе с ним средний возраст команды составил уже 23{,}5 года?
13. Известно, что сумма двух действительных чисел 5. Какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел?
14. Найдите сумму корней уравнения \[ |x-8| = 1 - 2x. \]
15. В треугольнике $ABC$ биссектриса внутреннего угла при вершине $B$ и биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекаются в точке $P$. Найдите величину угла $APC$, если угол $ABC$ равен $50^\circ$.

Решения задач

1. Вычислите $(-0,4)^{-2}$. Ответ запишите десятичной дробью.
   Решение: $(-0,4)^{-2} = \frac{1}{(-0,4)^2} = \frac{1}{0,16} = 6,25$.
   Ответ: 6,25.
2. Вычислите $\displaystyle \frac{2\sqrt{14}-6}{\sqrt{28}-\sqrt{18}} \;-\;\frac{4}{\sqrt{8}}$.
   Решение: Упростим каждое слагаемое отдельно. $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$, $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Первая дробь: $\frac{2\sqrt{14}-6}{2\sqrt{7}-3\sqrt{2}}$. Множитель сопряженный знаменателю: $2\sqrt{7}+3\sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель: $\frac{(2\sqrt{14}-6)(2\sqrt{7}+3\sqrt{2})}{(2\sqrt{7})^2 -(3\sqrt{2})^2} = \frac{4\sqrt{98} + 6\sqrt{28} -12\sqrt{7} -18\sqrt{2}}{28 -18} = \frac{28\sqrt{2} + 12\sqrt{7} -12\sqrt{7} -18\sqrt{2}}{10} = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2}$. Вторая часть: $\frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Итог: $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$.
   Ответ: 0.
3. Точки $M$ и $N$ ― основания перпендикуляров, опущенных из вершины $B$ ромба $ABCD$ на стороны $AD$ и $CD$. Найдите углы треугольника $BMN$, если угол ромба при вершине $A$ равен $40^\circ$. В ответе укажите градусную меру наибольшего угла.
   Решение: Угол $\angle BAD = 40^\circ$, следовательно $\angle ABC = 140^\circ$. Треугольник $BMN$ прямоугольный ($\angle BMN = 90^\circ$ как перпендикуляры). Треугольник $BMN$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны $25^\circ$, наибольший угол $130^\circ$.
   Ответ: $130^\circ$.
4. Сколько граммов воды нужно долить в сосуд, содержащий 240~г солевого раствора, концентрация соли в котором составляет $12{,}5\%$, чтобы концентрация соли стала $10\%$.
   Решение: Масса соли: $240 \cdot 0,125 = 30$ г. Пусть добавили $x$ г воды. Уравнение: $\frac{30}{240 + x} = 0,1$ ⇒ $x = 60$ г.
   Ответ: 60 граммов.
5. Упростите выражение \[ \Bigl(\tfrac{1}{4-x^2} + \tfrac{1}{(x-2)^2}\Bigr) : \Bigl(\tfrac{x^2-4}{10+5x}\Bigr)^2. \]
   Решение: Общий знаменатель первой скобки $(4 - x^2)(x - 2)^2$: $\frac{(x - 2)^2 + (4 - x^2)}{(4 - x^2)(x - 2)^2)} : \frac{(x^2 - 4)^2}{(5(x + 2))^2} = \frac{-(x - 2)(5(x + 2))}{4} = \frac{25}{(x + 2)^2}$.
   Ответ: $\frac{25}{(x + 2)^2}$.
6. Котёнок Гав может съесть вкусную сосиску за 9 секунд, а его друг, щенок Шарик, только за 11 секунд. Сегодня утром они нашли целых 40 сосисок. Сколько времени потребуется котёнку и щенку, чтобы вместе уничтожить добычу?
   Решение: Совместная скорость: $\frac{1}{9} + \frac{1}{11} = \frac{20}{99}$ сосисок/сек. Время: $40 \div \frac{20}{99} = 198$ сек.
   Ответ: 198 секунд.
7. Решите уравнение \[ \frac{(x-2)\,(x^2+2x-8)}{x^2-4} = 0. \]
   Решение: Учитывая ОДЗ ($x \ne \pm 2$), корни числителя: $x = -4$, $x = 2$ (посторонний). Больший корень $-4$.
   Ответ: $-4$.
8. В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ равна 12. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного прямоугольника.
   Решение: Серединный четырёхугольник — ромб, его периметр равен сумме длин диагоналей оригинала. Периметр: $24$.
   Ответ: 24.
9. Найдите значение выражения \[ \frac{1}{3n} + \frac{1}{3m}, \] если $m$ и $n$ — корни уравнения $5x^2+9x+2=0$.
   Решение: По Виету: $m + n = -\frac{9}{5}$, $mn = \frac{2}{5}$. Выражение: $\frac{m + n}{3mn} = -\frac{3}{2}$.
   Ответ: $-1{,}5$.
10. Вычислите значение выражения \[ (\sqrt{3}-2)\,\sqrt{7+4\sqrt{3}}. \]
    Решение: $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$. Тогда $(\sqrt{3} - 2)(2 + \sqrt{3}) = -1$.
    Ответ: $-1$.
11. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая $n$, перпендикулярная его медиане $BD$, которая делит эту медиану пополам. Найдите отношение сторон $AB$ и $AC$.
    Решение: Используя свойства медиан и подобие треугольников, получаем $\frac{AB}{AC} = \frac{1}{2}$.
    Ответ: $0{,}5$.
12. Средний возраст игроков футбольной сборной, в которой было 11 человек, составлял 24 года. В начале сезона в клуб пришёл новый талантливый молодой игрок. Сколько ему было лет, если вместе с ним средний возраст команды составил уже 23{,}5 года?
    Решение: Общий возраст сначала: $24 \cdot 11 = 264$. После: $23,5 \cdot 12 = 282$. Возраст игрока: $282 - 264 = 18$ лет.
    Ответ: 18 лет.
13. Известно, что сумма двух действительных чисел 5. Какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел?
    Решение: Максимум произведения при $x = y = 2,5$. Произведение: $6,25$.
    Ответ: 6,25.
14. Найдите сумму корней уравнения \[ |x-8| = 1 - 2x. \]
    Решение: При $x < 8$: $8 - x = 1 - 2x$ ⇒ $x = -7$. Других корней нет. Сумма $-7$.
    Ответ: -7.
15. В треугольнике $ABC$ биссектриса внутреннего угла при вершине $B$ и биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекаются в точке $P$. Найдите величину угла $APC$, если угол $ABC$ равен $50^\circ$.
    Решение: Угол между биссектрисами: $180^\circ - \frac{50^\circ}{2} - \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 115^\circ$.
    Ответ: $115^\circ$.